Funzioni "con" grafico..
Mi aiutate a risolvere il quesito allegato? Secondo me nn c'è punto cuspidale, nè un punto di minimo relativo..
la curva di destra penso sia un flesso...anzi no, non c'è un cambio di concavità! Ma è strettamente decrescente!? La curva di sinistra forma un asintoto verticale e uno orizzontale? Scusandomi per le cavolate che avrò detto, attendo l'aiuto di qualcuno grazie
la curva di destra penso sia un flesso...anzi no, non c'è un cambio di concavità! Ma è strettamente decrescente!? La curva di sinistra forma un asintoto verticale e uno orizzontale? Scusandomi per le cavolate che avrò detto, attendo l'aiuto di qualcuno grazie
Risposte
"Myriam92":
Se qui il $2$ l'avessi messo come esponente dell'argomento avrei ottenuto una equazione di 2^ grado quindi un doppio e opposto risultato..Come è possibile!?0.0
Magari l'altra soluzione non fa parte del dominio della funzione?
... il C.E. , questo sconosciuto ... 
"Myriam92":
n effetti sostituendo $ 1/2 $ nella derivata nn ci serve a nulla perché viene zero che è un punto stazionario. Allora è sempre inutile sto passaggio no!?
Ma no ... ti serve sia per sapere se è un eventuale punto di max/min sia come inizio della eventuale crescenza/decrescenza ... in pratica quando studi la derivata (ma anche qualsiasi altra funzione ...) provi a risolvere questa disequazione $f'(x)>=0$ (o similari) che, di fatto, si divide in due parti: prima studi l'equazione associata per trovare i punti in cui vale "l'uguale" e poi, utilizzando queste soluzioni come "spartiacque", trovi i punti (di solito intervalli più che singoli punti) in cui vale "il maggiore" (e di conseguenza anche "il minore") ... ok?
"Myriam92":
... ( Poi zero il dominio potrebbe anche nn comprenderlo però, allora a quel punto zero sì che lo definirei stazionario perché nn c'è nè minimo ne max....?!?) ...
Questa frase la cito solo perché è sintomatica di come ad un certo punto parti per la tangente ... limitati alle "cose" normali, alle regole che sai, quelle di cui sei sicura, e vai oltre solo se veramente necessario ...
"Myriam92":
Per la derivata seconda ho seguito il tuo metodo cioè sostituire un valore maggiore di $ sqrt e/2 $ e uno minore ed in effetti c'è un cambio di concavità.
Però dato che dal limite a $ +oo $ avremmo visto che c'era un asintoto orizzontale, il calcolo del flesso è stato inutile tra virgolette, no? Anche perché x trovare il valore numerico dei valori con $ e $ mi è servita la calcolatrice ( che all'esame nn è ammessa)
Quello è uno dei metodi, nel mio post ne avevo indicati altri e lo studio del segno delle derivate è forse quello più usato ... sostituire numeri nella funzione (o derivata che sia ...) è utile se i numeri sono "facili" altrimenti è meglio non farlo ...
Il calcolo del flesso forse inutile per stabilire l'andamento della funzione ma può essere richiesto all'esame ...
Allora mi sono trovata le coordinate del punto di massimo $(1/2;2)$ perché con lo studio del segno della derivata posso sapere che la funzione DA UN MEZZO decresce.... Ok, ma come dimostro che PRIMA descresce pure ?
Idem per la concavità ho studiato il segno della derivata seconda ( sostituiamo solo se richieste le coordinate del flesso) et voilà.... A dx di zero la concavità risulta verso il basso! Posso dimostrarlo così, no?
Per l asintoto ti ho chiesto perché era tra le opzioni di risposta
Ne ho trovate altre due stranette però :
- non ha estremi relativi ( sarebbero i punti di max e min che agli estremi nn abbiamo?)
-Limitata superiormente ( si perché 2 è max assoluto, però ho scritto che è PURE relativo, come riconoscere sta differenza?);
-Limitata inferiormente ( si perché il dominio ci impone di prendere i soli valori positivi)
Attendo riscontri, grazie
Idem per la concavità ho studiato il segno della derivata seconda ( sostituiamo solo se richieste le coordinate del flesso) et voilà.... A dx di zero la concavità risulta verso il basso! Posso dimostrarlo così, no?
Per l asintoto ti ho chiesto perché era tra le opzioni di risposta
Ne ho trovate altre due stranette però :
- non ha estremi relativi ( sarebbero i punti di max e min che agli estremi nn abbiamo?)
-Limitata superiormente ( si perché 2 è max assoluto, però ho scritto che è PURE relativo, come riconoscere sta differenza?);
-Limitata inferiormente ( si perché il dominio ci impone di prendere i soli valori positivi)
Attendo riscontri, grazie
"Myriam92":
Ok, ma come dimostro che PRIMA descresce pure ?
Prima del max la funzione cresce, altrimenti non sarebbe un massimo, no?
Hai presente quando arrivi in cima ad una montagna? Prima sali, poi arrivi in cima (max) e poi scendi ...
$ y'= -log(2x)/x^2 $
$ -log(2x)/x^2 >0\ ->\ $
- Denominatore $-x^2$ sempre negativo (tranne in zero ma è fuori dal dominio (della funzione) e quindi non ci interessa)
- Numeratore $log(2x)>0\ ->\ log(2x)>log e^0\ -> \ 2x>1\ ->\ x>1/2$
Rimettendo insieme i pezzi concludiamo che la derivata prima è positiva tra $0
-/-
"Myriam92":
Idem per la concavità ho studiato il segno della derivata seconda ( sostituiamo solo se richieste le coordinate del flesso) et voilà.... A dx di zero la concavità risulta verso il basso! Posso dimostrarlo così, no?
Sì puoi dimostrarlo così però non hai finito: hai trovato un punto ($x=sqrt(e)/2$) in cui la derivata seconda si annulla, quindi possibile punto di flesso ovverossia punto in cui potrebbe cambiare la concavità ... è sufficiente che rifai la stessa procedura che ho utilizzato sopra per la derivata prima (d'altra parte l'hai già svolta perché hai trovato il punto di flesso cioè prima abbiamo fatto $y''=0$ adesso basta fare $y''>0$), ok?
-/-
"Myriam92":
- non ha estremi relativi ( sarebbero i punti di max e min che agli estremi nn abbiamo?)
-Limitata superiormente ( si perché 2 è max assoluto, però ho scritto che è PURE relativo, come riconoscere sta differenza?);
-Limitata inferiormente ( si perché il dominio ci impone di prendere i soli valori positivi)
Gli estremi relativi non ho capito cosa siano ...
I punti di max relativi sono quelli che trovi come abbiamo fatto prima o con la definizione (corretta) che avevi postato tempo fa; il max assoluto è il più alto valore che può assumere la funzione, quindi o è il maggiore tra quelli relativi oppure è un valore ancor maggiore che potrebbe trovarsi agli estremi del dominio o in punti "strani" (non preoccuparti di queste cose, le ho scritte per completezza ma non ti capiteranno, ok?
)Quello che mi stupisce però è che dopo tutti 'sti discorsi riesci ad affermare che è "limitata inferiormente" ...
Come puoi vedere $lim_(x->0) f(x) = lim_(x->0) (log(2x)+1)/x =-infty$, quindi inferiormente è illimitata ...
-/
Giusto per ...
Fucsia: funzione
Marrone: derivata prima
Tratteggiata: derivata seconda
Fucsia: funzione
Marrone: derivata prima
Tratteggiata: derivata seconda
Ok, chiaro! ma in tutto ciò lo sai dove mi sono persa? Allo studio del segno della derivata prima xD
Io in genere il segno meno lo metto al numeratore come hai potuto vedere.
Quindi numeratore : $-ln2x>lne^0$ moltiplicato tutto per -1 abbiamo $x<-1/2$ ma non è una valore del nostro dominio!!
Denominatore: un numero al quadrato è sempre positivo quindi sempre verificato.
Per cui il grafico finale mi consente di verificare i soli valori negativi che nemmeno mi interessano...
Poi una cosina riguardo ancora $y=e^x-1 $ che non mi pare di averti chiesto.
Il testo dice che la funzione ha concavità verso l'alto, no? Ma se qst info fosse stata riferita ad una funzione diciamo " non nota " (nè esponenziale né log ecc) , non poteva essere fuorviante visto che in realtà è solo strettamente crescente ? Oppure l'essere strettamente crescente "include" anche la concavità verso l'alto ?
[ot]lo so che la prima domanda è troppo stupida ....
Il tuo servizio invece è impeccabile! Mi starai addebitando tutto sul conto telefonico, lo so[/ot]
Io in genere il segno meno lo metto al numeratore come hai potuto vedere.
Quindi numeratore : $-ln2x>lne^0$ moltiplicato tutto per -1 abbiamo $x<-1/2$ ma non è una valore del nostro dominio!!
Denominatore: un numero al quadrato è sempre positivo quindi sempre verificato.
Per cui il grafico finale mi consente di verificare i soli valori negativi che nemmeno mi interessano...
Poi una cosina riguardo ancora $y=e^x-1 $ che non mi pare di averti chiesto.
Il testo dice che la funzione ha concavità verso l'alto, no? Ma se qst info fosse stata riferita ad una funzione diciamo " non nota " (nè esponenziale né log ecc) , non poteva essere fuorviante visto che in realtà è solo strettamente crescente ? Oppure l'essere strettamente crescente "include" anche la concavità verso l'alto ?
[ot]lo so che la prima domanda è troppo stupida ....
Il tuo servizio invece è impeccabile! Mi starai addebitando tutto sul conto telefonico, lo so
[/ot]
"Myriam92":
Io in genere il segno meno lo metto al numeratore come hai potuto vedere.
Quindi numeratore : $-ln2x>lne^0$ moltiplicato tutto per -1 abbiamo $x<-1/2$ ...
Le espressioni algebriche le puoi manipolare come vuoi, anzi come ti fa più comodo, sempreché le operazioni che fai siano lecite.
Ho messo il meno al denominatore perché mi era più comodo ma avessi fatto come te non sarebbe cambiato niente ...
$-log(2x)>0\ ->\ log(2x)^(-1)>log e^0\ ->\ 1/(2x)>1$ ora, dato che $2x$ è sempre maggiore di zero nel nostro dominio possiamo tranquillamente moltiplicare tutto per $2x$ per cui $1>2x\ ->\ 1/2>x$ che è giusto l'opposto di prima e siccome pure il denominatore ha segno opposto a prima non cambia niente ... hai solo sbagliato i conti ...
"Myriam92":
... Ma se qst info fosse stata riferita ad una funzione diciamo " non nota " (nè esponenziale né log ecc) , non poteva essere fuorviante visto che in realtà è solo strettamente crescente ? Oppure l'essere strettamente crescente "include" anche la concavità verso l'alto ?
Una funzione sempre concava verso l'alto NON implica che sia sempre crescente (vedi $x^2$) così come una funzione strettamente crescente NON implica che abbia la concavità verso l'alto (vedi $sqrt(x)$) ...
Si si infatti resta equivalente la frazione scritta in entrambi i modi...Ma siccome al solito se nn mi perdo in certe cavolate non c'è piacere....
Appunto!!! Secondo me quell' informazione in più viene messa puramente x trarrenin inganno >:/
Appunto!!! Secondo me quell' informazione in più viene messa puramente x trarrenin inganno >:/
$y=x^2logx^2$ te la ricordi, quella a "gobbe di cammello"? avevo dimenticato di chiederti se fosse iniettiva, e direi di no secondo il grafico che mi hai fatto ieri. Ma è un metodo diciamo "universale" per verificarlo? C'entra poi la non iniettività col fatto che la funzione sia pari?
$y= 1-e^x/x^2$ questa invece era la funzione che poteva trarre in inganno perchè è convessa...
quell'asintoto orizzontale y=1 ci indica che la funzione è illimitata superiormente? (nonostante non "copra tutta l'asse y)? allo stesso modo avremo potuto dire se l'asintoto orizzontale fosse stato in $y<0$ come $y=-1$?
$y= 1-e^x/x^2$ questa invece era la funzione che poteva trarre in inganno perchè è convessa...
quell'asintoto orizzontale y=1 ci indica che la funzione è illimitata superiormente? (nonostante non "copra tutta l'asse y)? allo stesso modo avremo potuto dire se l'asintoto orizzontale fosse stato in $y<0$ come $y=-1$?
Se è pari, una funzione NON è sicuramente iniettiva ... basta la definizione di funzione pari $f(x)=f(-x)$ dove noti che le variabili indipendenti sono diverse ($x!=-x$ tranne in zero) mentre il valore della funzione è lo stesso.
Il metodo della "riga orizzontale" non solo è universale ma è anche formalmente corretto (cioè non è solo un giochino visivo); il problema sta nel fatto che non è così utile come può sembrare ... prima di tutto per usarlo devi avere il grafico ma sei hai il grafico probabilmente hai già risolto i tuoi problemi ... ... in realtà può bastare parte del grafico (come quando hai due "rami" distinti di funzione che vanno allo stesso infinito ... però se conosci questa informazione lo sai già che non è iniettiva ... ) ... inoltre può essere che la parte della funzione che non è iniettiva non si veda bene ... infine per provare che una funzione è iniettiva dovresti far "passare" la reta orizzontale su tutto il grafico da più infinito a meno infinito ...
Riguardo a questa $y=1-e^x/x^2$ non è l'asintoto orizzontale che ti dice se è limitata o no ma il fatto che nessun limite agli estremi del dominio sia $+infty$ e quindi è limitata superiormente (se la funzione "non va" a $+infty$ significa che esisterà sicuramente un numero $M$ maggiore (o uguale) di tutti gli $y$)
Il metodo della "riga orizzontale" non solo è universale ma è anche formalmente corretto (cioè non è solo un giochino visivo); il problema sta nel fatto che non è così utile come può sembrare ... prima di tutto per usarlo devi avere il grafico ma sei hai il grafico probabilmente hai già risolto i tuoi problemi ...
... in realtà può bastare parte del grafico (come quando hai due "rami" distinti di funzione che vanno allo stesso infinito ... però se conosci questa informazione lo sai già che non è iniettiva ... ) ... inoltre può essere che la parte della funzione che non è iniettiva non si veda bene ... infine per provare che una funzione è iniettiva dovresti far "passare" la reta orizzontale su tutto il grafico da più infinito a meno infinito ... Riguardo a questa $y=1-e^x/x^2$ non è l'asintoto orizzontale che ti dice se è limitata o no ma il fatto che nessun limite agli estremi del dominio sia $+infty$ e quindi è limitata superiormente (se la funzione "non va" a $+infty$ significa che esisterà sicuramente un numero $M$ maggiore (o uguale) di tutti gli $y$)
grazie =)
pero' sto notando che non sempre secondo me il metodo della riga orizzontale mi funziona
in qst $y=(e^x-1)/(x+1) $non funziona perchè evidente che a valori distinti di x, quelli di y cambiano pure, (pero' me lhai fatto notare dall 'intersezione con gli assi che non è iniettiva....) quindi non è proprio universale?
[ot]ho una domandina diversa dal solito..
Sia$ f(x)=|X^2-1|-2x+1$
per quali valori di $x in RR f(x)>=0$?
non sto capendo perchè il formulario me mette a capo tutto
vediamo magari domani si aggiusta XD
vorrei sapere come impostare i sistemi. io faccio così:
$ { ( x^2-1>=0 ),( x^2-1-2x+1>=0 ):}$ e ${ ( x^2-1<0 ),( x^2-1-2x+1>=0 ):}$
se poi hai voglia di spiegarmi il perchè..è ben accetto dato che le ho sempre imparate a memoria ste cose........ti ringrazio[/ot]
pero' sto notando che non sempre secondo me il metodo della riga orizzontale mi funziona
in qst $y=(e^x-1)/(x+1) $non funziona perchè evidente che a valori distinti di x, quelli di y cambiano pure, (pero' me lhai fatto notare dall 'intersezione con gli assi che non è iniettiva....) quindi non è proprio universale?
[ot]ho una domandina diversa dal solito..
Sia$ f(x)=|X^2-1|-2x+1$
per quali valori di $x in RR f(x)>=0$?
non sto capendo perchè il formulario me mette a capo tutto
vediamo magari domani si aggiusta XDvorrei sapere come impostare i sistemi. io faccio così:
$ { ( x^2-1>=0 ),( x^2-1-2x+1>=0 ):}$ e ${ ( x^2-1<0 ),( x^2-1-2x+1>=0 ):}$
se poi hai voglia di spiegarmi il perchè..è ben accetto dato che le ho sempre imparate a memoria ste cose........ti ringrazio
[/ot]
"Myriam92":
pero' sto notando che non sempre secondo me il metodo della riga orizzontale mi funziona
in qst $y=(e^x-1)/(x+1) $non funziona perchè evidente che a valori distinti di x, quelli di y cambiano pure, (pero' me lhai fatto notare dall 'intersezione con gli assi che non è iniettiva....) quindi non è proprio universale?
È quel "evidente" che mi preoccupa ... perché è evidente il contrario ... qualsiasi riga orizzontale $y=k$ con $k>0$ "tocca" la funzione in due punti distinti $x_1!=x_2$ ma la $y$ è la stessa ... è evidente ...
-/-
"Myriam92":
Sia$ f(x)=|X^2-1|-2x+1$
per quali valori di $x in RR f(x)>=0$?
non sto capendo perchè il formulario me mette a capo tutto
vorrei sapere come impostare i sistemi. io faccio così:
$ { ( x^2-1>=0 ),( x^2-1-2x+1>=0 ):}$ e ${ ( x^2-1<0 ),( x^2-1-2x+1>=0 ):}$
se poi hai voglia di spiegarmi il perchè..è ben accetto dato che le ho sempre imparate a memoria ste cose........ti ringrazio
La definizione della funzione "valore assoluto" è $|x|={(x\ \ \ \ \text( se )x>=0),(-x\text( se )x<0):}$; dato che l'argomento del valore assoluto è un valore qualsiasi possiamo sostituirlo con un espressione qualsiasi perciò generalizzando avremo
$|f(x)|={(f(x)\ \ \ \ \text( se )f(x)>=0),(-f(x)\text( se )f(x)<0):}$.
Nell'esempio che hai riportato hai scritto $f(x)$ in tutti e due i sistemi mentre nel secondo ci va $-f(x)$ come da definizione ...
In pratica data $f(x)=|x^2-1|-2x+1$ si vuole sapere quando $f(x)>=0$,
allora riscriviamola "sciogliendo" il valore assoluto
$|x^2-1|={(x^2-1\ \ \ \ \text( se )x^2-1>=0),(-(x^2-1)\text( se )x^2-1<0):}$ che "traduciamo" nei due sistemi
$ { ( x^2-1>=0 ),( x^2-1-2x+1>=0 ):}\ \ \ vv\ \ \ { ( x^2-1<0 ),(- x^2+1-2x+1>=0 ):}$
Secondo episodio
Dopo più di un mese... xD
$x<=-1+sqrt3$ U $x>=2$
Giusto?
Se volessimo sapere dove la funzione risulta strettamente maggiore di zero invece , nei sistemi il verso della disequazione (il maggiore) mantiene l'uguale solo in $x^2-1>=0$?
Dopo più di un mese... xD
$x<=-1+sqrt3$ U $x>=2$
Giusto?
Se volessimo sapere dove la funzione risulta strettamente maggiore di zero invece , nei sistemi il verso della disequazione (il maggiore) mantiene l'uguale solo in $x^2-1>=0$?
Giusto.
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