Funzioni "con" grafico..
Mi aiutate a risolvere il quesito allegato? Secondo me nn c'è punto cuspidale, nè un punto di minimo relativo..
la curva di destra penso sia un flesso...anzi no, non c'è un cambio di concavità! Ma è strettamente decrescente!? La curva di sinistra forma un asintoto verticale e uno orizzontale? Scusandomi per le cavolate che avrò detto, attendo l'aiuto di qualcuno grazie
la curva di destra penso sia un flesso...anzi no, non c'è un cambio di concavità! Ma è strettamente decrescente!? La curva di sinistra forma un asintoto verticale e uno orizzontale? Scusandomi per le cavolate che avrò detto, attendo l'aiuto di qualcuno grazie
Risposte
La funzione $logx-2x^2+3x$ nell'intervallo $1
Prova visiva:
Guardando il grafico, partendo da $x_0=1$ e andando verso destra (cioè $+infty$), la curva scende inesorabilmente verso $-infty$
Prova pratica:
Dati $x_1=1, x_2=2, x_3=3$ abbiamo $f(1)=log1-2*1^2+3*1=1$, $f(2)=log2-2*2^2+3*2=\ -1,3$, $f(3)=log3-2*3^2+3*3=\ -7,9$; quindi da $x_1f(x_2)>f(x_3)$
Ed infine prova formale:
La derivata di $f(x)$ è, di fatto, una parabola con la concavità verso il basso; le soluzioni dell'equazione associata sono $x_1=\ -1/4$ e $x_2=1$; perciò la derivata è nulla in quei due punti, è positiva nei punti interni ($-1/4
[ot]Siccome c'ho messo un quarto d'ora col tablet, il resto a dopo ...[/ot]
Prova visiva:
Guardando il grafico, partendo da $x_0=1$ e andando verso destra (cioè $+infty$), la curva scende inesorabilmente verso $-infty$
Prova pratica:
Dati $x_1=1, x_2=2, x_3=3$ abbiamo $f(1)=log1-2*1^2+3*1=1$, $f(2)=log2-2*2^2+3*2=\ -1,3$, $f(3)=log3-2*3^2+3*3=\ -7,9$; quindi da $x_1
Ed infine prova formale:
La derivata di $f(x)$ è, di fatto, una parabola con la concavità verso il basso; le soluzioni dell'equazione associata sono $x_1=\ -1/4$ e $x_2=1$; perciò la derivata è nulla in quei due punti, è positiva nei punti interni ($-1/4
[ot]Siccome c'ho messo un quarto d'ora col tablet, il resto a dopo ...
[/ot]
"Myriam92":
... Codominio: io ho sempre saputo che rappresenta la variabile indipendente y ...
E io cosa ho detto? Hai forse dimenticato che $y=f(x)$ ? Se $x_0=1$ è un punto di massimo assoluto, la funzione non può assumere valori maggiori ovvero la $y$ non può assumere valori maggiori quindi il codominio ha quel valore come limite massimo
La definizione di massimo relativo che hai scritto è corretta ma forse ti sfugge che anche un punto di massimo assoluto rientra in quella definizione ma non è vero il viceversa ...
Quante dimostrazioni! Ma hai scritto anche libri per caso? Io li comprerei solo per quanto sono scritti potabili! 
A differenza di quelli standard u.u
Diciamo che intuitivamente capivo che era decrescente ma.nn riuscivo a dimostrarlo formalmente. Sai perché ? La corrispondenza della funzione (che io faccio tratteggiata ) e che giunge sugli assi,ho visto che si fa a partire dalla parte destra della curva decrescente ;se parto dal lato sinistro viene l'esatto opposto
speriamo sia una modalità esatta.......( Spero poi di essermi spiegata bene xD )
Delirio: se consideriamo questo ragionamento sulla parte sinistra della curva, essa sarà crescente e simultaneamente pure decrescente ( a dx) .Stavolta mi sono ispirata ad una curva a concavità verso l'alto e lo dice esplicitamente che è così (crescente e decrescente)
Io li comprerei solo per quanto sono scritti potabili! A differenza di quelli standard u.u Diciamo che intuitivamente capivo che era decrescente ma.nn riuscivo a dimostrarlo formalmente. Sai perché ? La corrispondenza della funzione (che io faccio tratteggiata ) e che giunge sugli assi,ho visto che si fa a partire dalla parte destra della curva decrescente ;se parto dal lato sinistro viene l'esatto opposto
speriamo sia una modalità esatta.......( Spero poi di essermi spiegata bene xD )Delirio: se consideriamo questo ragionamento sulla parte sinistra della curva, essa sarà crescente e simultaneamente pure decrescente ( a dx) .Stavolta mi sono ispirata ad una curva a concavità verso l'alto e lo dice esplicitamente che è così (crescente e decrescente)
È abbastanza delirante quindi sarebbe ora di smetterla ... di studiare ...
Riguardo la questione della crescenza/decrescenza sta tutto e semplicemente qui (come detto prima):
"Strettamente decrescente" significa solo questo: se $ x_1f(x_2) $
Basta questo ...
Ovviamente in modo analogo sarà "Strettamente crescente" se da $ x_1
Prendi la tua funzione e guarda solo il pezzo da $1$ in poi verso destra, prendi due punti qualsiasi sull'asse delle $x$, ovviamente quello più a sx sarà minore di quello a dx (ok?); osserva adesso il valore che la funzione assume in quei due punti cioè guarda quanto vale la $y$ (pure ad occhio, va bene lo stesso): noterai che il valore della funzione relativa al punto più a sx si trova più in alto di quello a dx ovvero la $y$ di sx è maggiore della $y$ di dx ovvero la funzione, spostandoti verso dx (alias $+infty$), cala, scende, diminuisce, decresce ... (verbi finiti ...)
Riguardo la questione della crescenza/decrescenza sta tutto e semplicemente qui (come detto prima):
"Strettamente decrescente" significa solo questo: se $ x_1
Basta questo ...
Ovviamente in modo analogo sarà "Strettamente crescente" se da $ x_1
Prendi la tua funzione e guarda solo il pezzo da $1$ in poi verso destra, prendi due punti qualsiasi sull'asse delle $x$, ovviamente quello più a sx sarà minore di quello a dx (ok?); osserva adesso il valore che la funzione assume in quei due punti cioè guarda quanto vale la $y$ (pure ad occhio, va bene lo stesso): noterai che il valore della funzione relativa al punto più a sx si trova più in alto di quello a dx ovvero la $y$ di sx è maggiore della $y$ di dx ovvero la funzione, spostandoti verso dx (alias $+infty$), cala, scende, diminuisce, decresce ... (verbi finiti ...)
Avevo notato che erano quasi comuni le definizioni di max assoluto e max relativo. In tal caso però ho la certezza che il "picco" sia quello e nessun altro perché mi hai aiutata tu...Ma se ci fossero altri punti di max che nn riesco a individuare proprio a.causa di queste definizioni praticamente uguali...Mi posso attaccare al tram allora? 
[ot]sperando che il mio delirio non sia contagioso...[/ot]
.....Io una differenza la noto: nel massimo relativo la curva accanto che c'è da esempio, ha l'intorno completo
[ot]sperando che il mio delirio non sia contagioso...
[/ot].....Io una differenza la noto: nel massimo relativo la curva accanto che c'è da esempio, ha l'intorno completo
"Myriam92":
.....Io una differenza la noto: nel massimo relativo la curva accanto che c'è da esempio, ha l'intorno completo
Non è quello che fa la differenza ... osserva questa curva per esempio $-x^4-2x^3+x/2+1$ ...
Il massimo assoluto è semplicemente il valore massimo che può assumere la funzione nell'intervallo considerato ... puoi benissimo avere una curva con massimi relativi ma nessun massimo assoluto (vedi p.es. $x^3-3x^2+1$) ...
In conclusione, non devi fare altro che analizzare per bene la funzione nell'intervallo richiesto ovvero fare ... uno studio di funzione ...
"axpgn":
Prendi la tua funzione e guarda solo il pezzo da $1$ in poi verso destra, prendi due punti qualsiasi sull'asse delle $x$, ovviamente quello più a sx sarà minore di quello a dx (ok?); osserva adesso il valore che la funzione assume in quei due punti cioè guarda quanto vale la $y$ (pure ad occhio, va bene lo stesso): noterai che il valore della funzione relativa al punto più a sx si trova più in alto di quello a dx ovvero la $y$ di sx è maggiore della $y$ di dx ovvero la funzione, spostandoti verso dx (alias $+infty$), cala, scende, diminuisce, decresce ... (verbi finiti ...)
Esatto la domanda in tal caso era da $1$ in poi. Ma se considerassimo la curva "interamente", è vero che prima cresce e poi decresce..... Ergo prima di $1$ si verifica l'esatto opposto a quello che hai scritto...
Ti dico ciò perché ho visto un caso con soluzione : curva a concavità rivolta verso l'alto : non è inverbile :FALSO .
"Myriam92":
Esatto la domanda in tal caso era da $1$ in poi. Ma se considerassimo la curva "interamente", è vero che prima cresce e poi decresce..... Ergo prima di $1$ si verifica l'esatto opposto a quello che hai scritto...Per questo non la definirei STRETTAMENTE decrescente...
Certamente, ma il riferimento era a quella situazione, a quella domanda ...
"Myriam92":
Ti dico ciò perché ho visto un caso con soluzione : curva a concavità rivolta verso l'alto : non è inverbile :FALSO .
Non ho capito il senso ... puoi fare un esempio concreto? Una curva con la concavità sempre verso l'alto può essere sia invertibile che no ... p.es. $f(x)=e^x$ è invertibile mentre $f(x)=x^2$ non lo è ...
"axpgn":
[quote="Myriam92"].....Io una differenza la noto: nel massimo relativo la curva accanto che c'è da esempio, ha l'intorno completo
Non è quello che fa la differenza ... osserva questa curva per esempio $-x^4-2x^3+x/2+1$ ...
Il massimo assoluto è semplicemente il valore massimo che può assumere la funzione nell'intervallo considerato ... puoi benissimo avere una curva con massimi relativi ma nessun massimo assoluto (vedi p.es. $x^3-3x^2+1$) ...
In conclusione, non devi fare altro che analizzare per bene la funzione nell'intervallo richiesto ovvero fare ... uno studio di funzione ...
[/quote]Guarda che io le prendo sul serio le tue parole e le due funzioni le ho studiate, solo che entriamo in un circolo vizioso
Riguardo la prima, ho fatto la derivata seconda che essendo negativa otteniamo una funzione concava verso il basso . Ok . Il max assoluto c'è perché la funzione è solo quella tra l'altro, e nn abbiamo altre curve, no?( Dimmi che è almeno una spiegazione parzialmente plausibile ?)
Ma riguardo la seconda funzione la derivata seconda è $6x-6$ ed io ancora non mi so regolare sul da farsi Successivamente....Mi aiuti a capire che posso fare in tal caso per vedere se c'è un max o minimo? Ti ringrazio!
Tornando all'invertibilita della funzione, quella con la soluzione, è ( guarda caso quasi come il tuo esempio) $y=e^x-1$.
Poi mi chiedo perché devo rincitrullire però. Eccerto. Il prof con una funzione convessa se ne esce dicendo che nn è invertibile ed io lo prendo per un caso sempre vero
ma come.posso fidarmi!?...Interprete vieni in mio aiuto grazie! 
"Myriam92":
Guarda che io le prendo sul serio le tue parole ...
Eh, qualcuno che mi prende sul serio?
Sinceramente, le tue parole su max e min non le ho comprese però penso di poter dire che sei in grado di "trovare" max e min relativi mentre per trovare max e min assoluti devi usare tutte le informazioni che hai a disposizione; a titolo di esempio, puoi avere tutti i max relativi che vuoi ma se la tua funzione da qualche parte s'invola verso $+infty$ è evidente che il max assoluto non c'è, non so se mi spiego (in altri termini se la funzione non è limitata sopra e/o sotto non avrai max/min assoluti).
Purtroppo queste sono tutte considerazioni, per così dire, "spontanee" e "contingenti" mentre l'ideale sarebbe avere un buon libro che le tratta in modo più sistematico, sarebbe più efficiente ...
Cordialmente, Alex
"axpgn":
penso di poter dire che sei in grado di "trovare" max e min relativi mentre per trovare max e min assoluti devi usare tutte le informazioni che hai a disposizione; ..
Da cosa lo deduci che l'ho capito? Io mi sono trovata nella tua prima funzione un max assoluto, non relativo ; nell altra nemmeno so come fare
Quindi $e^x-1$ perché mai dovrebbe esser invertibile?
Buona cena
"Myriam92":
Quindi $e^x-1$ perché mai dovrebbe esser invertibile?
Perché è iniettiva, è monotona strettamente crescente su tutto il suo dominio che è formato da un unico intervallo ...
Ho detto "penso" non che sono "sicuro" ...
... cmq se vuoi provare con quelle due funzioni, vediamo ... 
La tua motivazione così fredda, pacata..sicura, inequivocabile..mi spiazza, io di quegli argomenti non ci ho mai capito un fico secco
Ho studiato solo la derivata seconda delle tue funzioni. La prima: derivata seconda negativa quindi concava verso il basso (c**o, difficilmente mi capiterà una cosa del genere )
Seconda: derivata seconda $y" = 6x-6$ che faccio ? La derivata prima La eguaglio a zero ed ho ottengo $0;2$..... Non capisco come muovermi da qui
Ho studiato solo la derivata seconda delle tue funzioni. La prima: derivata seconda negativa quindi concava verso il basso (c**o, difficilmente mi capiterà una cosa del genere )
Seconda: derivata seconda $y" = 6x-6$ che faccio ? La derivata prima La eguaglio a zero ed ho ottengo $0;2$.....
Non capisco come muovermi da qui
Come prima funzione intendi questa $-x^4-2x^3+x/2+1$ ?
La derivata seconda è $-12x^2-12x$ che si annulla nei punti $-1$ e $0$ quindi possibili candidati come punti di flesso (cioè punti in cui cambia la concavità); dato che hai solo la derivata seconda in mano un modo per stabilire la concavità della funzione è quello di dare alla derivata seconda dei valori e vedere che segno assume ... a sx del primo (eventuale) punto di flesso scegliamo per esempio $-2$ e il valore della derivata seconda è $-24$, è negativa e quindi la concavità a sx di $-1$ è verso il basso; adesso prendiamo un punto tra $-1$ a $0$, per esempio $-1/2$ e la derivata quindi vale $+3$ quindi positiva perciò tra $-1$ e $0$ la concavità è verso l'alto e $-1$ è un punto di flesso; infine prendiamo un punto a dx di zero, p.es. $1$ dove la derivata vale $-24$, quindi concavità verso il basso ed anche zero è un flesso.
Ok?
Se aggiungiamo come informazione i limiti agli estremi del dominio abbiamo che in entrambi i casi la funzione va a $-infty$, questo ci dice che non esiste min assoluto mentre sicuramente avrà un max assoluto ... e poi con derivata prima, crescenza/decrescenza, segno della funzione,ecc. puoi stabilire che esistono due max relativi (di cui uno assoluto), un min relativo ed anche due soluzioni (due zeri) ...
La derivata seconda è $-12x^2-12x$ che si annulla nei punti $-1$ e $0$ quindi possibili candidati come punti di flesso (cioè punti in cui cambia la concavità); dato che hai solo la derivata seconda in mano un modo per stabilire la concavità della funzione è quello di dare alla derivata seconda dei valori e vedere che segno assume ... a sx del primo (eventuale) punto di flesso scegliamo per esempio $-2$ e il valore della derivata seconda è $-24$, è negativa e quindi la concavità a sx di $-1$ è verso il basso; adesso prendiamo un punto tra $-1$ a $0$, per esempio $-1/2$ e la derivata quindi vale $+3$ quindi positiva perciò tra $-1$ e $0$ la concavità è verso l'alto e $-1$ è un punto di flesso; infine prendiamo un punto a dx di zero, p.es. $1$ dove la derivata vale $-24$, quindi concavità verso il basso ed anche zero è un flesso.
Ok?
Se aggiungiamo come informazione i limiti agli estremi del dominio abbiamo che in entrambi i casi la funzione va a $-infty$, questo ci dice che non esiste min assoluto mentre sicuramente avrà un max assoluto ... e poi con derivata prima, crescenza/decrescenza, segno della funzione,ecc. puoi stabilire che esistono due max relativi (di cui uno assoluto), un min relativo ed anche due soluzioni (due zeri) ...
Per i limiti hai usato la gerarchia e vince il grado più alto no?
Prima però mi avevi scritto che se la funzione è illimitata non ci sono proprio i minimi e i max assoluti... Ahi La funzione ho visto che sì ha un max assoluto, ma in basso ha dei punti di minimo" ad occhio ".... No, ci vedo male...L'altro max relativo e minimo dove sono? Il max relativo è il punto dove "impenna" la curva verso il max assoluto ?
Il cambio di concavità graficamente non dovrebbe essere una sorta di esse?( A tangente verticale )?
Comunque ti ringrazio!;)
Prima però mi avevi scritto che se la funzione è illimitata non ci sono proprio i minimi e i max assoluti... Ahi
La funzione ho visto che sì ha un max assoluto, ma in basso ha dei punti di minimo" ad occhio ".... No, ci vedo male...L'altro max relativo e minimo dove sono? Il max relativo è il punto dove "impenna" la curva verso il max assoluto ?Il cambio di concavità graficamente non dovrebbe essere una sorta di esse?( A tangente verticale )?
Comunque ti ringrazio!;)
"Myriam92":
Per i limiti hai usato la gerarchia e vince il grado più alto no?
Yes
"Myriam92":
Prima però mi avevi scritto che se la funzione è illimitata non ci sono proprio i minimi e i max assoluti...
Illimitata significa che non ci sono limiti né sopra né sotto mentre in questo caso è illimitata sotto e limitata sopra quindi non ci sono min assoluti ma c'è un max assoluto
"Myriam92":
L'altro max relativo e minimo dove sono? Il max relativo è il punto dove "impenna" la curva verso il max assoluto ?
Questa curva assomiglia (si fa per dire) alle gobbe di un cammello quindi due max relativi (uno è anche assoluto) e un min relativo ... li trovi dove la derivata prima è nulla ...
"Myriam92":
Il cambio di concavità graficamente non dovrebbe essere una sorta di esse?( A tangente verticale )?
Molto vagamente, può essere fuorviante fare questi paragoni ... cmq, non è a tangente verticale anzi in generale i flessi non sono verticali (cioè negli esercizi di solito non lo sono ...)
Limitata sopra perché? Sbaglio, o ciò dipendeva dal dominio che in tal caso è tutto $R$?
Ma scusa Allora sto flesso che tangente ha?
Tornando alla mia: $e^x-1$ come può essere monotòna strettamente crescente se la relativa curva è sia crescente che decrescente? (Stavolta stiamo considerando tutto l'intervallo )
Poi hai detto che è iniettiva: cioè ad elementi del dominio ne corrisponde solo uno del codominio. Ehm, significato pratico ?
Ma scusa Allora sto flesso che tangente ha?
Tornando alla mia: $e^x-1$ come può essere monotòna strettamente crescente se la relativa curva è sia crescente che decrescente? (Stavolta stiamo considerando tutto l'intervallo
)Poi hai detto che è iniettiva: cioè ad elementi del dominio ne corrisponde solo uno del codominio. Ehm, significato pratico ?
"Myriam92":
Limitata sopra perché?
In maniera molto poco formale ... la funzione è definita in intervallo unico (che sia tutto $RR$ importa poco) ed è continua su tutto quest'intervallo (cioè la puoi tracciare tutta "senza staccare la penna dal foglio" come si diceva una volta ...), parte da $-infty$ a sx, "naviga" in giro per il foglio e poi va a finire a $-infty$ a dx; se non fosse limitata sopra in qualche punto dovrebbe andare a $+infty$, cioè avere un buco da qualche parte, situazione che è in contrasto col fatto che è continua in tutto quell'intervallo, perciò prima o poi arriva ad un valore maggiore di tutti gli altri e poi riscende ... ok?
"Myriam92":
Tornando alla mia: $ e^x-1 $ come può essere monotòna strettamente crescente se la relativa curva è sia crescente che decrescente?
Ma quando mai ... stai confondendo le curve (d'altronde succede a "mischiarne" troppe ...
)Ti avevo detto che è importante ricordare "la forma" delle curve "basiche" e l'esponenziale $e^x$ è una di queste: monotona strettamente crescente (e pure sempre positiva)
"Myriam92":
Poi hai detto che è iniettiva: cioè ad elementi del dominio ne corrisponde solo uno del codominio. Ehm, significato pratico ?
È una delle prime cose (fondamentali) che si imparano sulle funzioni: significa che (restringendo eventualmente il codominio in modo opportuno se necessario) possiede un'inversa e quindi è invertibile ...
"Myriam92":
Ma scusa Allora sto flesso che tangente ha?
E che ne so? Va calcolato, no?
... che poi è semplice farlo quando hai il punto di flesso, basta calcolare il valore della derivata prima nel punto di flesso, quello è il valore tangente ...
Funzione a gobbe di cammello:
Come può non andare a $+oo$? Graficamente pare che ci vada , anche se in effetti i limiti ci dicono che non è cosi.....
Poi $e^x-1$:
La forma della curva dell'esponenziale me la ricordo, ma è il testo a dire che la curva però ha concavità verso l'alto :s ergo nn l'avrei definita nemmeno invertibile
I punti di flesso ne abbiamo trovati più di uno, quale sostituire nella derivata prima ?
[ot]sti studi di funzione a differenza dei limiti sono così contorti che mi fanno venire un sonno....Z.z
Cioè sui limiti ancora faccio pena lo stesso a volte, ma sicuramente "attraevano " di più ...[/ot]
Come può non andare a $+oo$? Graficamente pare che ci vada , anche se in effetti i limiti ci dicono che non è cosi.....
Poi $e^x-1$:
La forma della curva dell'esponenziale me la ricordo, ma è il testo a dire che la curva però ha concavità verso l'alto :s ergo nn l'avrei definita nemmeno invertibile
I punti di flesso ne abbiamo trovati più di uno, quale sostituire nella derivata prima ?
[ot]sti studi di funzione a differenza dei limiti sono così contorti che mi fanno venire un sonno....Z.z
Cioè sui limiti ancora faccio pena lo stesso a volte, ma sicuramente "attraevano " di più ...[/ot]
La funzione a "gobbe di cammello" è questa $-x^4-2x^3+x/2+1$ ed il suo grafico è nell'allegato (quella fucsia).
[ot]Se stan non ci mette una pezza qui non ne veniamo più fuori co' 'sta storia delle immagini ...[/ot]
Come puoi vedere la funzione non assume mai valori maggiori di $2$ (la funzione ovvero il codominio ovvero la $y$, NON il dominio ovvero la $x$, chiaro?), non va a $+infty$ quindi è limitata in alto ...
Ma te l'avevo appena detto qui
Quello di cui vuoi calcolare la tangente ... (non so perché ti interessi questo dato ...
)
Cordialmente, Alex
[ot]Se stan non ci mette una pezza qui non ne veniamo più fuori co' 'sta storia delle immagini ...
[/ot]Come puoi vedere la funzione non assume mai valori maggiori di $2$ (la funzione ovvero il codominio ovvero la $y$, NON il dominio ovvero la $x$, chiaro?), non va a $+infty$ quindi è limitata in alto ...
"Myriam92":
Poi $ e^x-1 $:
La forma della curva dell'esponenziale me la ricordo, ma è il testo a dire che la curva però ha concavità verso l'alto :s ergo nn l'avrei definita nemmeno invertibile
Ma te l'avevo appena detto qui
Una curva con la concavità sempre verso l'alto può essere sia invertibile che no ... p.es. $f(x)=e^x$ è invertibile mentre $f(x)=x^2$ non lo è ...... guarda il grafico nell'allegato (la curva blù).
"Myriam92":
I punti di flesso ne abbiamo trovati più di uno, quale sostituire nella derivata prima ?
Quello di cui vuoi calcolare la tangente ... (non so perché ti interessi questo dato ...
)Cordialmente, Alex
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