Funzioni parametriche continue e derivabili
data la funzione:
-$f(x)={ ( e^(3kx)-2x+1 ), ( 2x+kh ):}$ (con $x>=0 $ nel primo caso e $x<0$ nel secondo).
Per quali valori di $k,h$ la funzione è continua è derivabile in $x=0$?
Calcolando il limite sx della prima ed il dx della seconda, eguagliandoli ottengo $k=2$.
La derivata prima da dx è $2$, quella da sx non è solo $3$? E $h$ quanto vale?
-Poi un quesito mai visto prima, che non riesco nemmeno a trovare nella parte teorica..potreste darmi delle linee guida?grazie.
Per quali valori dei parametri reali $a,b$ la funzione $(3x^ay^b) /z$ risulta positivamente omogenea di grado $r=-2$?
-$f(x)={ ( e^(3kx)-2x+1 ), ( 2x+kh ):}$ (con $x>=0 $ nel primo caso e $x<0$ nel secondo).
Per quali valori di $k,h$ la funzione è continua è derivabile in $x=0$?
Calcolando il limite sx della prima ed il dx della seconda, eguagliandoli ottengo $k=2$.
La derivata prima da dx è $2$, quella da sx non è solo $3$? E $h$ quanto vale?
-Poi un quesito mai visto prima, che non riesco nemmeno a trovare nella parte teorica..potreste darmi delle linee guida?grazie.
Per quali valori dei parametri reali $a,b$ la funzione $(3x^ay^b) /z$ risulta positivamente omogenea di grado $r=-2$?
Risposte
"Myriam92":
Calcolando il limite sx della prima ed il dx della seconda, eguagliandoli ottengo $k=2$.
Non mi pare ... in $x_0=0$ la funzione vale $f(0)=2$ (ed anche il limite sinistro) perciò perché sia continua anche il limite destro deve valere $2$ e cioè $2=kh$ ...
Per quanto riguarda le derivate quella sinistra è $3ke^(3kx)-2$ mentre quella destra è pari a $2$, affinché sia derivabile anche nel punto $x_0=0$ deve essere $3ke^(3kx_0)-2=2$ da cui $3k=4\ =>\ k=4/3$ e riprendendo la conclusione precedente $2=kh\ =>\ 2=4/3h\ =>\ h=3/2$ ... IMHO ...
Per l'altro cosa intendi per "positivamente omogenea" ?
"axpgn":
Non mi pare ... in $x_0=0$ la funzione vale $f(0)=2$ (ed anche il limite sinistro) perciò perché sia continua anche il limite destro deve valere $2$ e cioè $2=kh$..
Devo fare
$2=kh+2x$? Mmm forse li risolviamo diversamente :s
Lo vedrò bene domani...
Positivamente omogenea... Me lo chiedi per verificare se conosco bene l'argomento? Se così nn fosse, il testo non specifica altro...
Dunque la funzione $f(x)$ nel punto $x=0$ vale $2$, ok?
Il limite a cui tende la funzione $f(x)$ da destra nel punto $x=0$ è dato da $lim_(x->0^+) e^(3kx)-2x+1$ e vale $2$, ok?
Il limite a cui tende la funzione $f(x)$ da sinistra nel punto $x=0$ è dato da $lim_(x->0^-) 2x+kh$ e vale $kh$, ok?
Perciò la funzione è continua nel punto $x=0$ quando i valori di $k$ e $h$ sono tali da rendere vera $2=kh$, ok?
Quindi infinite coppie (per adesso ...)
Passiamo alla derivabilità ...
La derivata di $e^(3kx)−2x+1$ è $3ke^(3kx) −2$ e nel punto $x=0$ vale $3k-2$.
La derivata di $2x+kh$ è $2$ e nel punto $x=0$ vale $2$.
Affinché la funzione sia derivabile nel punto $x=0$, i valori delle due derivate in quel punto devono essere uguali cioè $3k-2=2$ e quindi $3k=4\ =>\ k=4/3$
Poi riprendiamo questa $2=kh$ e sostituiamo $k=4/3$ per cui $2=4/3*h\ =>\ h=6/4=3/2$.
Ok?
Il limite a cui tende la funzione $f(x)$ da destra nel punto $x=0$ è dato da $lim_(x->0^+) e^(3kx)-2x+1$ e vale $2$, ok?
Il limite a cui tende la funzione $f(x)$ da sinistra nel punto $x=0$ è dato da $lim_(x->0^-) 2x+kh$ e vale $kh$, ok?
Perciò la funzione è continua nel punto $x=0$ quando i valori di $k$ e $h$ sono tali da rendere vera $2=kh$, ok?
Quindi infinite coppie (per adesso ...)
Passiamo alla derivabilità ...
La derivata di $e^(3kx)−2x+1$ è $3ke^(3kx) −2$ e nel punto $x=0$ vale $3k-2$.
La derivata di $2x+kh$ è $2$ e nel punto $x=0$ vale $2$.
Affinché la funzione sia derivabile nel punto $x=0$, i valori delle due derivate in quel punto devono essere uguali cioè $3k-2=2$ e quindi $3k=4\ =>\ k=4/3$
Poi riprendiamo questa $2=kh$ e sostituiamo $k=4/3$ per cui $2=4/3*h\ =>\ h=6/4=3/2$.
Ok?
"Myriam92":
Positivamente omogenea... Me lo chiedi per verificare se conosco bene l'argomento? Se così nn fosse, il testo non specifica altro...
No, perché non la conosco neanch'io ...
... ma credo che, in questo caso, tu debba sommare gli esponenti delle variabili che deve dare $r=-2$ cioè $a+b-1=-2$ da cui $a+b=-1\ =>\ a=-1-b$Provando a riscriverla ... $(3x^ay^b)/z$ ... $(3x^(-1-b)y^b)/z=(3y^b)/(zx*x^b)=3/(xz)(y/x)^b$ ... così per sfizio ...
Grazie, riguardo la prima adesso ci sono!;)
Però ho beccato un esercizio analogo in cui chiede il valore di una sola incognita $a in R$ affinché la funzione sia continua e derivabile... In pratica eguagliando i limiti dx e sx risultano un certo valore; eguagliando derivata dx e sin ecc (stessa procedura come sopra) ne risulta un altro. Quindi in tal caso non esiste $a in R$ giusto?
Per la funzione positivamente omogenea non capisco perché aggiungi il $-1$ . Le risposte cmq sono:
$a+b=-1;a+b=-2;a+b=0$ o nessuna delle altre.
Però ho beccato un esercizio analogo in cui chiede il valore di una sola incognita $a in R$ affinché la funzione sia continua e derivabile... In pratica eguagliando i limiti dx e sx risultano un certo valore; eguagliando derivata dx e sin ecc (stessa procedura come sopra) ne risulta un altro. Quindi in tal caso non esiste $a in R$ giusto?
Per la funzione positivamente omogenea non capisco perché aggiungi il $-1$ . Le risposte cmq sono:
$a+b=-1;a+b=-2;a+b=0$ o nessuna delle altre.
"Myriam92":
... Però ho beccato un esercizio analogo ... Quindi in tal caso non esiste $a in R$ giusto?
Postalo che vediamo ...
"Myriam92":
Per la funzione positivamente omogenea non capisco perché aggiungi il $ -1 $ . Le risposte cmq sono:
$ a+b=-1;a+b=-2;a+b=0 $ o nessuna delle altre.
Anche $z$ è una variabile ed il suo esponente è $-1$ ... cmq, la risposta te l'ho già data ed è una di quelle che hai elencato ...
Eccolo:
${ ( x^2-x+2 ),( ax^2 ):}$ rispettivamente $x<=2;x>2$
Per quale $a$ $in R$ la funzione è continua e derivabile?
Cmq per quella omogenea..Possiamo sommare gli esponenti di prodotti di potenze a diversa base?
[ot]vorrei poi esercitarmi un po' sulle funzioni con grafico. Il grafico però è già "preimpostato" e disegnato nella domanda stessa, quindi non so quale sia la funzione rappresentata..Come potri fare? Ti ringrazio[/ot]
${ ( x^2-x+2 ),( ax^2 ):}$ rispettivamente $x<=2;x>2$
Per quale $a$ $in R$ la funzione è continua e derivabile?
Cmq per quella omogenea..Possiamo sommare gli esponenti di prodotti di potenze a diversa base?
[ot]vorrei poi esercitarmi un po' sulle funzioni con grafico. Il grafico però è già "preimpostato" e disegnato nella domanda stessa, quindi non so quale sia la funzione rappresentata..Come potri fare? Ti ringrazio[/ot]
Come prima ...
La funzione $f(x)$ nel punto $x=2$ vale $4$
Il limite a cui tende la funzione $f(x)$ da destra nel punto $x=2$ è dato da $lim_(x->2^+) x^2-x+2$ e vale $4$
Il limite a cui tende la funzione $f(x)$ da sinistra nel punto $x=2$ è dato da $lim_(x->2^-) ax^2$ e vale $4a$
Perciò la funzione è continua nel punto $x=2$ quando il valore di $a$ è tale da rendere vera $4=4a$ perciò se $a=1$ la funzione è continua.
Derivabilità ...
La derivata di $x^2-x+2$ è $2x-1$ e nel punto $x=2$ vale $3$.
La derivata di $ax^2$ è $2ax$ e nel punto $x=2$ vale $4a$; dato che abbiamo già stabilito che per la continuità della funzione in quel punto deve essere $a=1$, sostituendolo otteniamo che la derivata in quel punto vale $4$
I valori delle derivate nel punto $x=2$ sono diversi quindi la funzione lì è continua ma non derivabile e per valori diversi di $a$ non è neppure continua ...
Non stai calcolando un'espressione, risolvere un'equazione o semplificare ... quel conteggio (somma degli esponenti) ti serve solo per stabilire se è positivamente omogenea (come quando devi stabilire il grado di un monomio ...); cmq, quel metodo vale in questo caso, in altri potrebbe essere più complicato stabilirlo ...
La funzione $f(x)$ nel punto $x=2$ vale $4$
Il limite a cui tende la funzione $f(x)$ da destra nel punto $x=2$ è dato da $lim_(x->2^+) x^2-x+2$ e vale $4$
Il limite a cui tende la funzione $f(x)$ da sinistra nel punto $x=2$ è dato da $lim_(x->2^-) ax^2$ e vale $4a$
Perciò la funzione è continua nel punto $x=2$ quando il valore di $a$ è tale da rendere vera $4=4a$ perciò se $a=1$ la funzione è continua.
Derivabilità ...
La derivata di $x^2-x+2$ è $2x-1$ e nel punto $x=2$ vale $3$.
La derivata di $ax^2$ è $2ax$ e nel punto $x=2$ vale $4a$; dato che abbiamo già stabilito che per la continuità della funzione in quel punto deve essere $a=1$, sostituendolo otteniamo che la derivata in quel punto vale $4$
I valori delle derivate nel punto $x=2$ sono diversi quindi la funzione lì è continua ma non derivabile e per valori diversi di $a$ non è neppure continua ...
"Myriam92":
...Possiamo sommare gli esponenti di prodotti di potenze a diversa base?
Non stai calcolando un'espressione, risolvere un'equazione o semplificare ... quel conteggio (somma degli esponenti) ti serve solo per stabilire se è positivamente omogenea (come quando devi stabilire il grado di un monomio ...); cmq, quel metodo vale in questo caso, in altri potrebbe essere più complicato stabilirlo ...
Adesso mi hai fatto capire bene il PERCHÉ di quella risposta
Riguardo l'altra per nostra fortuna penso che dovrebbero essere molto rare, ergo speriamo di nn trovarne più ! xD
[ot]vorrei poi esercitarmi un po' sulle funzioni con grafico. Il grafico però è già "preimpostato" e disegnato nella domanda stessa, quindi non so quale sia la funzione rappresentata..Come potri fare? Ti ringrazio[/ot]
Riguardo l'altra per nostra fortuna penso che dovrebbero essere molto rare, ergo speriamo di nn trovarne più ! xD
[ot]vorrei poi esercitarmi un po' sulle funzioni con grafico. Il grafico però è già "preimpostato" e disegnato nella domanda stessa, quindi non so quale sia la funzione rappresentata..Come potri fare? Ti ringrazio[/ot]
Allega un'immagine, per capire ...
Nel form di risposta, sotto i tasti "invia", "anteprima", ecc. c'è l'opzione "aggiungi immagine", usala ...
Nel form di risposta, sotto i tasti "invia", "anteprima", ecc. c'è l'opzione "aggiungi immagine", usala ...
Il problema sarà però trovare il formato giusto, perché di solito le pubblica tagliate fa lo stesso se allego un file?
Aspetta un'altra cosa... Sempre su quest ultimo es...Ho visto che a volte la risposta potrebbe essere "$a=n$ , e per ogni $b in R$ "
Facendo un ragionamento a ritroso, cosa dovrebbe accadere per essere questa la risposta giusta?
Grazie :3
fa lo stesso se allego un file?Aspetta un'altra cosa... Sempre su quest ultimo es...Ho visto che a volte la risposta potrebbe essere "$a=n$ , e per ogni $b in R$ "
Facendo un ragionamento a ritroso, cosa dovrebbe accadere per essere questa la risposta giusta?
Grazie :3
"Myriam92":
... fa lo stesso se allego un file?...
No.
"Myriam92":
Sempre su quest ultimo es...Ho visto che a volte la risposta potrebbe essere "$ a=n $ , e per ogni $ b in R $ "
Facendo un ragionamento a ritroso, cosa dovrebbe accadere per essere questa la risposta giusta?
Qualsiasi cosa ...
... Secondo te partendo da una risposta ad un esercizio che non so neanche di che tipo sia dovrei capire qual è il procedimento per rispondere ad una domanda che non si sa qual è ? Fantastico
data la funzione:
-$f(x)={ ( e^(3kx)-2x+1 ), ( 2x+h ):}$ (con $x>=0 $ nel primo caso e $x<0$ nel secondo).
Per quali valori di $k,h$ la funzione è derivabile in $x=0$?
so che è continua in h=2 (ma non influisce sulla derivabilità, no?) e derivabile sicuro in k=4/3. E per h allora? Qualunque?
--------------------------------------------
poi, mi sono accorta di una leggera differenza tra le domande degli esercizi. Per esempio qst:
${ ( x^2-x+2 ),( ax^3 ):}$ rispettivamente $x<=2;x>2$
Per quale $a$ $in R$ la funzione è continua e derivabile?
nel primo perchè chiede solo in x=2? e non in un valore reale, cm nel secondo caso? c'è differenza?(uffff non posso colorare le formule?)
Cambia qualcosa nella risoluzione?
In quest'ultimo trovo semplicemente lim dx, sx e poi derivata dx e sx (e sostituisco x=2) per poi uguagliare lim dx e sx, derivata dx e sx e metto a sistema...[ne approfitto per chiedere se le soluzioni sono:continua in a= 1/2, ma non potendo dire che è derivabile in a=1/4(sist. impossibile) in a =1/2 mi dirai forse che nn è nemmeno derivabile perchè le due derivate dx e sx sono diverse...ma scusa nell'es che ho messo prima nn sono diverse pure?
]
-$f(x)={ ( e^(3kx)-2x+1 ), ( 2x+h ):}$ (con $x>=0 $ nel primo caso e $x<0$ nel secondo).
Per quali valori di $k,h$ la funzione è derivabile in $x=0$?
so che è continua in h=2 (ma non influisce sulla derivabilità, no?) e derivabile sicuro in k=4/3. E per h allora? Qualunque?
--------------------------------------------
poi, mi sono accorta di una leggera differenza tra le domande degli esercizi. Per esempio qst:
${ ( x^2-x+2 ),( ax^3 ):}$ rispettivamente $x<=2;x>2$
Per quale $a$ $in R$ la funzione è continua e derivabile?
nel primo perchè chiede solo in x=2? e non in un valore reale, cm nel secondo caso? c'è differenza?(uffff non posso colorare le formule?
)Cambia qualcosa nella risoluzione?
In quest'ultimo trovo semplicemente lim dx, sx e poi derivata dx e sx (e sostituisco x=2) per poi uguagliare lim dx e sx, derivata dx e sx e metto a sistema...[ne approfitto per chiedere se le soluzioni sono:continua in a= 1/2, ma non potendo dire che è derivabile in a=1/4(sist. impossibile) in a =1/2 mi dirai forse che nn è nemmeno derivabile perchè le due derivate dx e sx sono diverse...ma scusa nell'es che ho messo prima nn sono diverse pure?
]
"Myriam92":
so che è continua in h=2 (ma non influisce sulla derivabilità, no?)
Cero che influisce ... affinché una funzione sia derivabile in un punto, in quel punto deve essere continua ... perciò prima di verificare la derivabilità va verificata la continuità ...
Poi una questione "linguistica" che però è importante: non si dice "è continua in $h$" ma "è continua nel punto $x_0$ per il parametro $h$" (così come non si dice "è derivabile in $k$" ma "è derivabile nel punto $x_0$ per il parametro $k$) ... non è una questione di forma perché mi pare tu faccia confusione tra punti e parametri ...
Quindi prima verifica la continuità nel punto richiesto (in questo caso $x_0=0$, effettivamente è continua se $h=2$ dato che la funzione in quel punto vale $f(x_0)=2$, il limite da sx della funzione vale $2$ ed il limite della funzione da dx vale $h$ perciò per far sì che siano tutti e tre uguali deve essere $h=2$)
Poi verifichi la derivabilità, sempre nello stesso punto $x_0=0$: calcolati i limiti della derivata sx e dx e uguagliali ... vediamo se esiste un $k$ tale da renderla derivabile in quel punto (ovviamente $h$ è fissato a $2$, altrimenti non sarebbe continua e quindi non derivabile, ok?)
--------------------------------------
Non ho capito granché ... primo caso, secondo caso ... boh ... sii più precisa ed una cosa alla volta ...
"axpgn":
esiste un k tale da renderla derivabile in quel punto (
4/3?
"axpgn":
Non ho capito granché ..
dopo 7 modifiche
va bene, andiamo all'ottava...chiedevo per quale motivo il primo esercizio richiede la derivabilità nel punto x=1
mentre nell'altro la continuità e derivabilità in $RR$
cambia qualcosa?
2°esercizio
${ ( a=1/2 ),( a=1/4 ):}$
sono le soluzioni dei limiti e delle derivate (col calcolo che hai spiegato tu) messi a sistema.
Un sistema così nn è impossibile?
in tal modo sarà la funzione continua in x=2 per il parametro a=1/2 ma non derivabile per il parametro a=1/2?(mi sto basando sulla risoluz di un es molto simile di qst stesso topic..) Non capisco perche non derivabile..
spero che il linguaggio ora sia giusto, ma così di modifiche ne ho dovute fare altre 7 volte 7
"Myriam92":
4/3?
Sì, ok ...
"Myriam92":
chiedevo per quale motivo il primo esercizio richiede la derivabilità nel punto x=1
mentre nell'altro la continuità e derivabilità in $ RR $
cambia qualcosa?
No, non cambia niente ... nel primo esercizio ti viene dato il punto in cui verificare la derivabilità, nel secondo devi trovarlo tu il punto (o i punti) nel quale verificarla ... in pratica però è la stessa cosa ... tu sai (da studi pregressi
) che i polinomi sono derivabili su tutto $RR$ e quelle due funzioni lo sono, quindi il problema dove sta? dove potrebbe essere? solo nel punto di "contatto" delle due funzioni quindi va verificata la derivabilità solo in quel punto (cioè $x_0=2$)È continua ? Sì, se $a=1/2$ ... allora la funzione di cui devo verificare la derivabilità sarà $ f(x)={ ( x^3/2\text( se )x>=2), (x^2-x+2\text( se )x<2 ):} $
Le due derivate sono $3/2x^2$ e $2x-1$ che nel punto $x_0=2$ assumono i valori $6$ e $3$ che sono diversi perciò la funzione in quel punto non è derivabile.
quindi nel primo esercizio i valori di h,k sono 4/3 e 2. Stop?
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nell'altro perchè, nel fare il sistema , hai cambiato il verso delle condizioni?
e la sostituzione (a=1/2) effettuata nella derivata, va fatta SEMPRE? io finora non l'ho mai fatto... forse sono stati tutti casi in cui era ininfluente? o è perchè qui il sistema era impossible?(ipotesi meno accreditataXD)
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nell'altro perchè, nel fare il sistema , hai cambiato il verso delle condizioni?
e la sostituzione (a=1/2) effettuata nella derivata, va fatta SEMPRE? io finora non l'ho mai fatto... forse sono stati tutti casi in cui era ininfluente? o è perchè qui il sistema era impossible?(ipotesi meno accreditataXD)
Per la precisione $h=2$ e $k=4/3$ ... con questi due parametri quella funzione è continua e derivabile dappertutto ...
Non mi pare di aver cambiato il verso (peraltro ininfluente in questo caso) ma solo l'ordine ... mentre mi preoccupa l'altra domanda, significa che il discorso che ho fatto non è stato chiaro ...
Allora .. ribadisco che affinché una funzione sia derivabile DEVE essere continua quindi PRIMA (di verificare la derivabilità) si stabiliscono le condizioni per cui la funzione sia continua ... nell'ultima la funzione è continua nel punto $x_0=2$ SE E SOLO SE $a=1/2$, altrimenti non lo è e se non lo è (continua) non è neanche derivabile (sempre in quel punto stiamo parlando, ok?) ... allora noi poniamo $a=1/2$ nella funzione e ne verifichiamo la derivabilità ... anche prima con $h$ abbiamo fatto lo stesso, solo che là i parametri da trovare erano due ...
Non mi pare di aver cambiato il verso (peraltro ininfluente in questo caso) ma solo l'ordine ... mentre mi preoccupa l'altra domanda, significa che il discorso che ho fatto non è stato chiaro ...
Allora .. ribadisco che affinché una funzione sia derivabile DEVE essere continua quindi PRIMA (di verificare la derivabilità) si stabiliscono le condizioni per cui la funzione sia continua ... nell'ultima la funzione è continua nel punto $x_0=2$ SE E SOLO SE $a=1/2$, altrimenti non lo è e se non lo è (continua) non è neanche derivabile (sempre in quel punto stiamo parlando, ok?) ... allora noi poniamo $a=1/2$ nella funzione e ne verifichiamo la derivabilità ... anche prima con $h$ abbiamo fatto lo stesso, solo che là i parametri da trovare erano due ...
"axpgn":
anche prima con h abbiamo fatto lo stesso, solo che là i parametri da trovare erano due ...
ma quell'h=2 che avevamo trovato coi limiti, sarebbe stato inutile andarla a sostituire nella funzione prima di derivarla(visto che una volta derivata, sarebbe divenuta zero...) quindi in base al calcolo alle volte è ininfluente!
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sì, avevi cambiato l'ordine, ma hai invertito anche l'uguale, per questo mi sn confusa
"Myriam92":
... ma quell'h=2 che avevamo trovato coi limiti, sarebbe stato inutile andarla a sostituire nella funzione prima di derivarla(visto che una volta derivata, sarebbe divenuta zero...) quindi in base al calcolo alle volte è ininfluente ...
Ma no, che confusione ... che c'entra questa $h$ che è un parametro della funzione con l'$h$ che puoi trovare nei limiti del rapporto incrementale? Questa non va a zero!
Questa $h$ vale $2$ se vuoi che la funzione sia continua in zero ... per tutti gli altri valori di $h$ la funzione non è continua nel punto $0$.
Quindi quando successivamente vai a verificare la derivabilità non parti più dalla funzione $2x+h$ ma dalla funzione $2x+2$, l'acca non c'è più ...
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