Funzioni omografiche

[fireball1]

Un quesito mi tormenta: come si trovano i fuochi di una funzione omografica, ossia di un'iperbole equilatera riferita agli asintoti, ma traslata?
C'è un modo rapido per farlo?

grazie mille

[goblyn]

Vai su:

http://www.math.it/formulario/iperbole.htm


Ciao!

goblyn

[fireball1]

Grazie goblyn, ma qui ci sono già andato: a me non interessa l'iperbole equilatera riferita agli asintoti, ma la funzione omografica.

ciao
fireball

[goblyn]

ma la funzione omografica non è nient'altro che un'iperbole riferita agli asintoti traslata

Infatti:

y=(ax+b)/(cx+d)

cxy+dy-ax-b=0

Operiamo la traslazione del sistema di riferimento come segue:

X=x+h
Y=y+k

cioè

x=X-h
y=Y-k

sostituiamo nell'iperbole...

c(X-h)(Y-k)+d(Y-k)-a(X-h)-b=0

cXY + X(-ck-a) + Y(-ch+d) + chk-dk+ah-b=0

Imponiamo che i termini dovuti alla traslazione (cioè in X e Y) scompaiano:

-ck-a=0
-ch+d=0

Si ottiene

k=-a/c
h=d/c

L'equazione dell'iperbole nel nuovo sistema di riferimento è dunque:

cXY+ad/c-b=0

Ovvero

XY = (bc-ad)/(c^2)

Cioè un'iperbole riferita agli asintoti!!!

Ora puoi trovare le coordinate dei fuochi.
Chiamando le coordinate di uno dei due fuochi Xf e Yf, per ricavare le coordinate del fuoco nel vecchio sistema di riferimento (che è quello che mi chiedi) basta riapplicare le leggi di traslazione all'inverso. Ovvero:

xf = Xf - d/c
yf = Yf + a/c

ecco fatto!!!
ciao

goblyn




Modificato da - goblyn il 10/05/2003 13:36:55

Modificato da - goblyn il 10/05/2003 13:44:08

[fireball1]

Allora mi faresti un grande favore? Trovami i fuochi dell'iperbole di equazione y = (3x+1)/(x-2); ti dico subito, per non farti sbagliare i conti, che il risultato dev'essere F( 2+-sqrt(14) ; 3+-sqrt(14) ).

Grazie

ciao

[goblyn]

a=3
b=1
c=1
d=-2

Quindi ridotta a iperbole equilatera l'equazione diventa:

XY=(bc-ad)/(c^2)=(1+6)/1=7

I fuochi di un iperbole equilatera xy=k sono (sqrt(2k);sqrt(2k)) e l'opposto.

Quindi

F1'(sqrt(14);sqrt(14))
F2'(-sqrt(14);-sqrt(14))

Ora applichiamo la traslazione al contrario:

x=X-d/c=X+2
y=Y+a/c=Y+3

I fuochi sono allora:

F1(2+sqrt(14);3+sqrt(14)
F2(2-sqrt(14);3-sqrt(14)

E non ho sbagliato i conti... e allora... ma vieni...

goblyn

Modificato da - goblyn il 10/05/2003 18:23:09

[fireball1]

Grande goblyn!! Bella la tua firma nuova e lo stile di scrivere le cose più rilevanti con colori diversi! Pensavo ci fosse un metodo più rapido di questo (a cui avevo pensato anch'io), ma a quanto pare non esiste. Beh pazienza...

Ciao!
fireball

[goblyn]

Carino vero? sto sperimentando...


Modificato da - goblyn il 11/05/2003 03:19:49