Funzioni inverse, uguali
1) la funzione $y=arc tg$ $e^x$ ha come inversa:
1) $y=e^(tgx)$
2) $y=log $ $tgx$
3) $y=tg$ $e^x$
4) $y=log$ $tg$ $e^x$
come si risolve?ho cercato di farlo, ma proprio non ci riesco
mi spiegate il ragionamento?
ho pensato che $y=a^x$ ha come inversa $y=log_a x$ e quindi ho pensato che potesse essere giusta la seconda.
2) le funzioni $y=logx^2$ e $y=2logx$ sono uguali?
ho trovato i due campi di esistenza. per la prima è R-(0), per la seconda é R+.
poi ho disegnati i grafici e sono identici. ma dato che i domini sono diversi posso dire che sono uguali?
grazie in anticipo
1) $y=e^(tgx)$
2) $y=log $ $tgx$
3) $y=tg$ $e^x$
4) $y=log$ $tg$ $e^x$
come si risolve?ho cercato di farlo, ma proprio non ci riesco
mi spiegate il ragionamento? ho pensato che $y=a^x$ ha come inversa $y=log_a x$ e quindi ho pensato che potesse essere giusta la seconda.
2) le funzioni $y=logx^2$ e $y=2logx$ sono uguali?
ho trovato i due campi di esistenza. per la prima è R-(0), per la seconda é R+.
poi ho disegnati i grafici e sono identici. ma dato che i domini sono diversi posso dire che sono uguali?
grazie in anticipo
Risposte
"sweet swallow":
2) le funzioni $y=logx^2$ e $y=2logx$ sono uguali?
ho trovato i due campi di esistenza. per la prima è R-(0), per la seconda é R+.
poi ho disegnati i grafici e sono identici. ma dato che i domini sono diversi posso dire che sono uguali?
Hai individuato correttamente i domini delle due funzioni che sono diversi però poi dici che i grafici sono identici: queste due affermazioni si contraddicono perché se due funzioni hanno domini diversi il grafico non può essere identico.
Nel tuo caso, la prima funzione ha grafico su tutto $R-{0}$ mentre il secondo esiste solo nel semiasse positivo delle $x$, quindi anche i grafici sono diversi.
In ogni caso, il fatto che due funzioni abbiano dominio diverso è sufficiente per concludere che le due funzioni sono diverse.
"sweet swallow":
1) la funzione $y=arc tg$ $e^x$ ha come inversa:
1) $y=e^(tgx)$
2) $y=log $ $tgx$
3) $y=tg$ $e^x$
4) $y=log$ $tg$ $e^x$
come si risolve?ho cercato di farlo, ma proprio non ci riesco
ho pensato che $y=a^x$ ha come inversa $y=log_a x$ e quindi ho pensato che potesse essere giusta la seconda.
2) le funzioni $y=logx^2$ e $y=2logx$ sono uguali?
ho trovato i due campi di esistenza. per la prima è R-(0), per la seconda é R+.
poi ho disegnati i grafici e sono identici. ma dato che i domini sono diversi posso dire che sono uguali?
grazie in anticipo
se i domini sono diversi, credo non sia corretto dire che le 2 funzioni sono uguali, anche se si comportano ugualmente sull'intersezione dei loro dominii
Ciao!
Il procedimento "informale" è cercare di ricavare la x in funzione della y ("informale" perché ciò non è sempre possibile).
Per fare ciò, il procedimento "informale" è considerare log come l'inversa di exp e arctan come l'inversa di tan.
In questo caso, dico "informale" perché log, exp, tan e arctan sono funzioni solo nel momento in cui si dà il dominio di definizione, in questo modo
la funzione $tan: ]-pi/2,pi/2[ \to RR$ e la funzione $arctan: RR \to (-pi/2,pi/2)$ sono una l'inversa dell'altra.
Ma la funzione $tan: RR-\{pi/2+k \pi\ |\ k \in ZZ\} \to RR$ e la funzione $arctan:RR \to ]-pi/2,pi/2[$ non sono una l'inversa dell'altra.
Premesso questo, avendo $y=arctan e^x$ puoi applicare $tan$ ad ambo i membri ottenendo $tan y=e^x$, quindi applicare $log$ ottenendo $log tan y = x$. Quindi l'inversa è quella mappa che manda $x \in ]0,pi/2[$ in $log tan x \in RR$.
Il problema di definire dominio e codominio di una funzione si fa evidente nella tua seconda domanda: non ha senso chiedersi se le due funzioni $y=log(x^2)$ e $y=2log(x)$ sono uguali semplicemente perché
$y=log(x^2)$
$y=2log(x)$
non sono funzioni. Perché siano funzioni bisogna dire chi sono dominio e codominio. Cosicché le due funzioni
$RR-\{0\} \to RR$, $x \mapsto log(x^2)$
$RR_+ \to RR$, $x \mapsto 2log(x)$
non sono uguali, mentre le due funzioni
$RR_+ \to RR$, $x \mapsto log(x^2)$
$RR_+ \to RR$, $x \mapsto 2log(x)$
sono uguali.
Il procedimento "informale" è cercare di ricavare la x in funzione della y ("informale" perché ciò non è sempre possibile).
Per fare ciò, il procedimento "informale" è considerare log come l'inversa di exp e arctan come l'inversa di tan.
In questo caso, dico "informale" perché log, exp, tan e arctan sono funzioni solo nel momento in cui si dà il dominio di definizione, in questo modo
la funzione $tan: ]-pi/2,pi/2[ \to RR$ e la funzione $arctan: RR \to (-pi/2,pi/2)$ sono una l'inversa dell'altra.
Ma la funzione $tan: RR-\{pi/2+k \pi\ |\ k \in ZZ\} \to RR$ e la funzione $arctan:RR \to ]-pi/2,pi/2[$ non sono una l'inversa dell'altra.
Premesso questo, avendo $y=arctan e^x$ puoi applicare $tan$ ad ambo i membri ottenendo $tan y=e^x$, quindi applicare $log$ ottenendo $log tan y = x$. Quindi l'inversa è quella mappa che manda $x \in ]0,pi/2[$ in $log tan x \in RR$.
Il problema di definire dominio e codominio di una funzione si fa evidente nella tua seconda domanda: non ha senso chiedersi se le due funzioni $y=log(x^2)$ e $y=2log(x)$ sono uguali semplicemente perché
$y=log(x^2)$
$y=2log(x)$
non sono funzioni. Perché siano funzioni bisogna dire chi sono dominio e codominio. Cosicché le due funzioni
$RR-\{0\} \to RR$, $x \mapsto log(x^2)$
$RR_+ \to RR$, $x \mapsto 2log(x)$
non sono uguali, mentre le due funzioni
$RR_+ \to RR$, $x \mapsto log(x^2)$
$RR_+ \to RR$, $x \mapsto 2log(x)$
sono uguali.
facendo il grafico ho notato che entrambe le funzioni si trovano nel semiasse positivo delle x, ma il loro dominio cambia. quindi non sono uguali?non importa se il grafico è lo stesso?
"Martino":
avendo $y=arctan e^x$ puoi applicare $tan$ ad ambo i membri ottenendo $tan y=e^x$, quindi applicare $log$ ottenendo $log tan y = x$. Quindi l'inversa è quella mappa che manda $x \in ]0,pi/2[$ in $log tan x \in RR$.
non ho capito quando hai applicato $tan$ a entrambi i membri perchè nel secondo compare solo $e^x$. tg arctg si "annullano"?perchè?
"sweet swallow":
tg arctg si "annullano"?perchè?
Perché come ti dicevo, date le opportune definizioni di dominio e codominio, esse sono una l'inversa dell'altra .
Due funzioni $f:A \to B$ e $g:B \to A$ sono una l'inversa dell'altra, per definizione, se sono verificate le seguenti condizioni:
$f \circ g = id_B$
$g \circ f = id_A$
ok mi sembra tutto chiaro 
grazie a tutti.
solo un'altra domanda: quell' "id" che vuol dire?non l'ho mai visto
grazie a tutti.solo un'altra domanda: quell' "id" che vuol dire?non l'ho mai visto
"sweet swallow":
ok mi sembra tutto chiaro
solo un'altra domanda: quell' "id" che vuol dire?non l'ho mai visto
$id$ è la funzione "identità", quella che manda ogni elemento in se stesso.
ok grazie
"sweet swallow":
facendo il grafico ho notato che entrambe le funzioni si trovano nel semiasse positivo delle x
Questa affermazione NON è corretta.
Il grafico di $2logx$ si trova in corrispondenza del semiasse positivo delle x (infatti il suo domino è $RR^+$) mentre il grafico di $logx^2$ si trova in corrispondenza del semiasse positivo E NEGATIVO delle x mentre non esiste solo nell'origine (infatti il suo dominio è $RR-{0}$).
Perciò i due grafici sono diversi.
Ti torna?
per quanto riguarda il dominio ho notato che per $logx^2$ si prende in considerazione tutto R-0 e quindi anche il semiasse negativo; ma io con la tabellina ho fatto i grafici e la curva è la stessa. questo volevo dire
"sweet swallow":
io con la tabellina ho fatto i grafici e la curva è la stessa. questo volevo dire
Impossibile. Questo volevo dire.
I due grafici sono identici per $x>0$ mentre per $x<0$ la funzione $2logx$ non esiste e quindi non ha grafico, invece la funzione $logx^2$ esiste e ha grafico. Quindi il grafico complessivo della funzione $logx^2$ ha un "pezzo" in piú rispetto al grafico complessivo di $2logx$ e quindi i grafici delle due funzioni sono diversi.
1) Ricorda il "principio del vestirsi-spogliarsi": $(fg)^(-1)=g^(-1)f^(-1)$. Allora ne deduci che l'inversa di $arctg e^x$ è $log (tg(x))$, con $x$ che varia nel codominio di $arctg e^x$, ossia $[0;pi/2)$.
2) NO. $log x^2$ ha un campo di esistenza più vasto, quindi non è la stessa funzione $2logx$. E' invece uguale a $2log|x|$. E' lo stesso discorso per cui è $sqrt(x^2)=|x|$ e non $sqrt(x^2)=x$.
2) NO. $log x^2$ ha un campo di esistenza più vasto, quindi non è la stessa funzione $2logx$. E' invece uguale a $2log|x|$. E' lo stesso discorso per cui è $sqrt(x^2)=|x|$ e non $sqrt(x^2)=x$.
adesso credo di aver capito sul serio, la funzione è pari, non ci avevo fatto caso.
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