Funzioni e vettori
Salve.
Potreste spiegarmi per favore cosa si intende quando si dice che le funzioni possono essere anche viste come vettori? Ho letto qualcosa su wikipedia ma non ho capito molto...
Grazie.
Potreste spiegarmi per favore cosa si intende quando si dice che le funzioni possono essere anche viste come vettori? Ho letto qualcosa su wikipedia ma non ho capito molto...
Grazie.
Risposte
sicuro che non si trattasse di funzioni a valori vettoriali?
L'unica che mi viene in mente è un vettore contenente le due coordinate (x,y), ma non so onestamente a che gioverebbe 
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Dato un insieme $X$, l'insieme delle funzioni $X to RR$ è uno spazio vettoriale con somma e prodotto per scalare per componenti (ovvero la somma di due funzioni $f$ e $g$ è quella funzione che manda $x in X$ in $f(x)+g(x)$ e il prodotto di $f$ per lo scalare $a in RR$ è quella funzione che manda $x in X$ in $a * f(x)$).
Quindi in questo senso una funzione a valori reali è "un vettore".
Più visivamente se hai una funzione $f:X to RR$ la puoi identificare al vettore $(f(x))_{x in X}$. Per esempio se $X={1,2,3}$ una funzione $f:X to RR$ si può rappresentare come $(x_1,x_2,x_3)$, dove $x_1,x_2,x_3 in RR$, e si intende che $f(1)=x_1$, $f(2)=x_2$, $f(3)=x_3$.
L'unico problema è che essendo tu (immagino) alle superiori potresti avere dei problemi a capire quello che ho detto. Se ti interessa approfondire ti consiglio di cercare su wikipedia "spazio vettoriale".
Ciao.
Quindi in questo senso una funzione a valori reali è "un vettore".
Più visivamente se hai una funzione $f:X to RR$ la puoi identificare al vettore $(f(x))_{x in X}$. Per esempio se $X={1,2,3}$ una funzione $f:X to RR$ si può rappresentare come $(x_1,x_2,x_3)$, dove $x_1,x_2,x_3 in RR$, e si intende che $f(1)=x_1$, $f(2)=x_2$, $f(3)=x_3$.
L'unico problema è che essendo tu (immagino) alle superiori potresti avere dei problemi a capire quello che ho detto. Se ti interessa approfondire ti consiglio di cercare su wikipedia "spazio vettoriale".
Ciao.
Sono al primo anno di universita'.
Ma dobbiamo per forza considerare l'insieme delle funzioni X->R, oppure basta che l'insieme numerico su cui e' definito lo spazio vettoriale possegga la struttura di campo?
E inoltre, perche' l'insieme delle funzioni X->R/C sia uno spazio lineare, non dobbiamo anche definire un prodotto scalare? Come puo' essere definito un prodotto scalare tra funzioni?
Infine, e' possibile considerare uno spazio lineare su un insieme numerico che non sia un campo? Ad esempio, su un corpo non commutativo?
Molte grazie.
Ma dobbiamo per forza considerare l'insieme delle funzioni X->R, oppure basta che l'insieme numerico su cui e' definito lo spazio vettoriale possegga la struttura di campo?
E inoltre, perche' l'insieme delle funzioni X->R/C sia uno spazio lineare, non dobbiamo anche definire un prodotto scalare? Come puo' essere definito un prodotto scalare tra funzioni?
Infine, e' possibile considerare uno spazio lineare su un insieme numerico che non sia un campo? Ad esempio, su un corpo non commutativo?
Molte grazie.
"balnazzar":
Sono al primo anno di universita'.
Beh allora potevi postare in università anziché in superiori
Non solo per un fatto di coerenza: avresti ricevuto molte più risposte.
Ma dobbiamo per forza considerare l'insieme delle funzioni X->R, oppure basta che l'insieme numerico su cui e' definito lo spazio vettoriale possegga la struttura di campo?
Naturalmente basta che sia un campo (in realtà basta che sia un corpo). Considera che pensavo tu fossi alle superiori, per quello ho preso il ben conosciuto $RR$.
E inoltre, perche' l'insieme delle funzioni X->R/C sia uno spazio lineare, non dobbiamo anche definire un prodotto scalare? Come puo' essere definito un prodotto scalare tra funzioni?
Non so cosa intendi per spazio lineare, ma l'insieme delle funzioni $X to k$ (dove $k$ è un campo) è uno spazio vettoriale, nel senso che puoi sommare funzioni e moltiplicare funzioni per scalari (cioè elementi di $k$), esiste lo zero e le operazioni sono "buone" (ripeto, per maggiori dettagli approfondisci la nozione di spazio vettoriale, che comunque se fai matematica dovresti aver affrontato).
In un generico spazio vettoriale non sono definiti a priori prodotti scalari. Soprattutto perché la definizione di prodotto scalare che conosco io richiede che il campo in questione sia ordinato (e non tutti i campi sono ordinati e/o ordinabili compatibilmente alla struttura di campo).
Se per te un prodotto scalare su un $RR$-spazio vettoriale V è una forma bilineare simmetrica non degenere definita positiva $V times V to RR$ (osserva che la nozione di "positivo" ha senso se il campo è ordinato, per questo ho preso $RR$) allora potresti nel tuo caso prendere $(f*g)(x) = f(x)g(x)$.
Infine, e' possibile considerare uno spazio lineare su un insieme numerico che non sia un campo? Ad esempio, su un corpo non commutativo?
Tutto dipende da cos'è per te uno spazio lineare.
Se per te uno spazio lineare è uno spazio vettoriale allora la risposta è: sì su un corpo non commutativo, no su un anello che non sia un corpo. Gli spazi definiti analogamente su anelli qualunque si dicono moduli.
Posso chiederti di che facoltà sei?
Per esempio, la circonferenza può essere vista in forma cartesiana o vettoriale.
Circonferenza goniometrica vista in forma cartesiana:
$x^2 + y^2 = 1$
In forma vettoriale e parametrica:
$r(\theta) = cos (\theta) * e_1 + sen (\theta) * e_2$
In forma vettoriale e non parametrica:
$r(x) = x * e_1 + sqrt(1-x^2) * e_2$ per y>0
$r(x) = x * e_1 - sqrt(1-x^2) * e_2$ per y<0
Ho usato come esempio quella goniometrica ma quanto detto vale per ogni circonferenza.
Spero di aver capito le tue richieste.
Ciao!
Circonferenza goniometrica vista in forma cartesiana:
$x^2 + y^2 = 1$
In forma vettoriale e parametrica:
$r(\theta) = cos (\theta) * e_1 + sen (\theta) * e_2$
In forma vettoriale e non parametrica:
$r(x) = x * e_1 + sqrt(1-x^2) * e_2$ per y>0
$r(x) = x * e_1 - sqrt(1-x^2) * e_2$ per y<0
Ho usato come esempio quella goniometrica ma quanto detto vale per ogni circonferenza.
Spero di aver capito le tue richieste.
Ciao!
Grazie per le risposte chiarificatrici.
Sono al primo anno di inegneria, ma ho inoltrato domanda di trasferimento al cdl in matematica.
Sono al primo anno di inegneria, ma ho inoltrato domanda di trasferimento al cdl in matematica.
Se su uno spazio vettoriale è definito un prodotto scalare, si parla di spazio euclideo (in particolare se di dimensione finita; se la dim è infinita mi sembra più diffuso il termine "spazio prehilbertiano")..
Sennò, "linear space" è equivalente a spazio vettoriale.
Sennò, "linear space" è equivalente a spazio vettoriale.
Ancora grazie.
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