Funzioni e discontinuità (urge chiarimenti)
scusate... ho ancora un altro problemino:
studiare i punti singolari di discontinuità delle seguenti funzioni
1) y=(3x+1)/(x-1)
2)Y=x/|x|
applicando la def. di derivata calcolare nel punto x la derivata della seguente funzione:
Y=2x-5
possibilmente vorrei capire i passaggi... grazie molte ancora!!!!
Modificato da - iocarlo il 28/02/2004 19:56:49
studiare i punti singolari di discontinuità delle seguenti funzioni
1) y=(3x+1)/(x-1)
2)Y=x/|x|
applicando la def. di derivata calcolare nel punto x la derivata della seguente funzione:
Y=2x-5
possibilmente vorrei capire i passaggi... grazie molte ancora!!!!
Modificato da - iocarlo il 28/02/2004 19:56:49
Risposte
Ciao iocarlo,
1) la funzione, che chiamo f per comodità, presenta problemi solo dove si annulla il denominatore, cioè per x=1. In x=1 la funzione non è proprio definita, altrove è sempre continua. Per scoprire che tipo di discontinuità c'è in x=1 devi fare il limite sinistro e destro:
lim(x-> 1-) f(x)= "4/0-" = -00
lim(x-> 1+) f(x)= "4/0+" = +00
In x=1 la funzione ha un asintoto orizzontale
2) La funzione g(x)=x/|x| può essere spezzata:
g(x)= x/x = 1 , se x>0
g(x)= x/(-x) = -1 , se x<0
In x=0, g(x) non è definita.
x=0 è l'unica singolarità. Sugli intervalli ]0,+00[ e ]-00, 0[, la funzione è continua, poiché costante.
3) Chiamo l'incremento della variabile x, H. Così, se chiamiamo la funzione f(x)=2x-5, la definizione di derivata è lim(H ->0)[(f(x+H)-f(x))/H].
Allora:
lim(H ->0)[(2*(x+H)-5) - (2x-5)]/H = lim(H ->0)[2x+2H-5-2x+5]/H = lim(H ->0) 2 = 2
Spero di essere stata chiara..
CIAO! Ahimsa
Modificato da - ahimsa il 28/02/2004 18:28:21
1) la funzione, che chiamo f per comodità, presenta problemi solo dove si annulla il denominatore, cioè per x=1. In x=1 la funzione non è proprio definita, altrove è sempre continua. Per scoprire che tipo di discontinuità c'è in x=1 devi fare il limite sinistro e destro:
lim(x-> 1-) f(x)= "4/0-" = -00
lim(x-> 1+) f(x)= "4/0+" = +00
In x=1 la funzione ha un asintoto orizzontale
2) La funzione g(x)=x/|x| può essere spezzata:
g(x)= x/x = 1 , se x>0
g(x)= x/(-x) = -1 , se x<0
In x=0, g(x) non è definita.
x=0 è l'unica singolarità. Sugli intervalli ]0,+00[ e ]-00, 0[, la funzione è continua, poiché costante.
3) Chiamo l'incremento della variabile x, H. Così, se chiamiamo la funzione f(x)=2x-5, la definizione di derivata è lim(H ->0)[(f(x+H)-f(x))/H].
Allora:
lim(H ->0)[(2*(x+H)-5) - (2x-5)]/H = lim(H ->0)[2x+2H-5-2x+5]/H = lim(H ->0) 2 = 2
Spero di essere stata chiara..
CIAO! Ahimsa
Modificato da - ahimsa il 28/02/2004 18:28:21
ciao Ahimsa,
ti ringrazio per aver risposto e risolto questi problemi.
Devo ancora analizzare e capire il quesito sull'altro argomento che ... stavo tendando di fare (risoltomi da vecchio e ubermensch)
non appena concluso mi metterò a leggere i passaggi del tuoi intervento... (per non confondermi)
se trovo qualche difficoltà... ti risponderò.
grazie tante... ciao Ahimsa
ti ringrazio per aver risposto e risolto questi problemi.
Devo ancora analizzare e capire il quesito sull'altro argomento che ... stavo tendando di fare (risoltomi da vecchio e ubermensch)
non appena concluso mi metterò a leggere i passaggi del tuoi intervento... (per non confondermi)
se trovo qualche difficoltà... ti risponderò.
grazie tante... ciao Ahimsa
scusa, ci sono alcune cose che non mi sono chiare:
1) come fà a venire 4/0 in entrambi i casi, sia con x->+1 che in x->-1? ... cosa devo calcolare?
per capire che è un asintoto orizzontale devo fare un grafico?
2)esiste una regola per capire che x/|x| bisogna dividerla in due parti togliendo il valore assoluto?
3)hai moltiplicato 2*(x+h)-5
non capisco... la x è (2x-5)?... dato che f(x) lo sustituisci con (2x-5)?
ho bisogno di spiegazioni... grazie!!!
1) come fà a venire 4/0 in entrambi i casi, sia con x->+1 che in x->-1? ... cosa devo calcolare?
per capire che è un asintoto orizzontale devo fare un grafico?
2)esiste una regola per capire che x/|x| bisogna dividerla in due parti togliendo il valore assoluto?
3)hai moltiplicato 2*(x+h)-5
non capisco... la x è (2x-5)?... dato che f(x) lo sustituisci con (2x-5)?
ho bisogno di spiegazioni... grazie!!!
nel primo caso basta sostituire il valore singolare x=1; è un asintoto or. perchè il grafico tende all'infinito a quella retta: infatti hai fatto un limite per x-->
inf
il modulo è definito:
ne consegue che per intervalli positivi puoi togliere il modulo e mantenere invariato il segno e, per intervalli negativi, puoi togliere il modulo e cambiare segno all'argomento del modulo.
f(x) significa funzione di x; quindi al posto di f(x) ci va tutta la funzione che è appunto la y, ovvero 2x-5.
nota: y ed f(x) nel caso di funzioni reali di variabile reale; ovvero quelle che studierai quest'anno sono esattamente la stessa cosa: y=f(x).
ciao, ubermensch
infil modulo è definito:
x se x >= 0
|x| =
-x se x < 0
ne consegue che per intervalli positivi puoi togliere il modulo e mantenere invariato il segno e, per intervalli negativi, puoi togliere il modulo e cambiare segno all'argomento del modulo.
f(x) significa funzione di x; quindi al posto di f(x) ci va tutta la funzione che è appunto la y, ovvero 2x-5.
nota: y ed f(x) nel caso di funzioni reali di variabile reale; ovvero quelle che studierai quest'anno sono esattamente la stessa cosa: y=f(x).
ciao, ubermensch
Alcune precisazioni relative all'esercizio n.1 :
x=1 è un asintoto verticale e non orizzontale : infatti per x che tende a 1 la funzione tende a 00 e più precisamente per x che tende a 1+ la funzione tende a +00, mentre per x che tende a 1- la funzione tende a -00.Se disegni il grafico vedi subito che è un asintoto verticale .
Se si avesse : lim per x che tende a 00 uguale a : 1 , allora y=1 sarebbe un asintoto orizzontale .Nel caso nostro c'è un asintoto orizzontale ed è : y=3 ; infatti sia per x che tende a +00, che per x che tende a -00 il limite della funzione vale : 3. ok?
Temo ci sia un pò di confusione da parte di iocarlo, in quanto parla di limite per x che tende a +1 e a -1.
La funzione non è definita solo per x che tende a 1, in quanto annulla il denominatore . Bisogna però specificare se x tende a 1 arrivandoci da destra(cioè da valore maggiori di 1 e allora si indica 1+) e in questo caso il limite è +00 oppure se ci si arriva da sinistra, cioè da valori più piccoli di 1 e si indica con : 1- e allora il limite diventa -00.
Ad esempio arrivandoci da destra pensa che x valga 1.001 e allora x -1 vale : 0.001, il numeratore vale : 4.003 e quindi la funzione :
4.003/0.001 = 4003.Se x si avvicina semprer dipiù a 1, da destra è chiaro che il limite sara +00.
Se ci arrivi da sinistra è facile vedere con ragionamneti analoghi che il limite sarà -00.
Modificato da - camillo il 29/02/2004 11:43:18
x=1 è un asintoto verticale e non orizzontale : infatti per x che tende a 1 la funzione tende a 00 e più precisamente per x che tende a 1+ la funzione tende a +00, mentre per x che tende a 1- la funzione tende a -00.Se disegni il grafico vedi subito che è un asintoto verticale .
Se si avesse : lim per x che tende a 00 uguale a : 1 , allora y=1 sarebbe un asintoto orizzontale .Nel caso nostro c'è un asintoto orizzontale ed è : y=3 ; infatti sia per x che tende a +00, che per x che tende a -00 il limite della funzione vale : 3. ok?
Temo ci sia un pò di confusione da parte di iocarlo, in quanto parla di limite per x che tende a +1 e a -1.
La funzione non è definita solo per x che tende a 1, in quanto annulla il denominatore . Bisogna però specificare se x tende a 1 arrivandoci da destra(cioè da valore maggiori di 1 e allora si indica 1+) e in questo caso il limite è +00 oppure se ci si arriva da sinistra, cioè da valori più piccoli di 1 e si indica con : 1- e allora il limite diventa -00.
Ad esempio arrivandoci da destra pensa che x valga 1.001 e allora x -1 vale : 0.001, il numeratore vale : 4.003 e quindi la funzione :
4.003/0.001 = 4003.Se x si avvicina semprer dipiù a 1, da destra è chiaro che il limite sara +00.
Se ci arrivi da sinistra è facile vedere con ragionamneti analoghi che il limite sarà -00.
Modificato da - camillo il 29/02/2004 11:43:18
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