Funzione radice
salve, sto facendo le funzioni radice. Ho cercato online qualcos asu ripmat ma vedo solo definizioni base, non capisco gli esempi dificli
salve, sto facendo le funzioni radice. Ho cercato online qualcosa su ripmat ma vedo solo definizioni base, nn capisco gli esempi dificli
salve, sto facendo le funzioni radice. Ho cercato online qualcosa su ripmat ma vedo solo definizioni base, nn capisco gli esempi dificli
Risposte
1. Data la funzione
essa presenta insieme di definizione
e il proprio grafico interseca gli assi cartesiani solo in
Per quanto concerne il segno di
quindi
Passando allo studio di
da cui si evince che
nemmeno di orizzontali: è possibile però che vi siano asintoti obliqui.
Dato che si ha
si appura l'assenza anche di asintoti obliqui per
È il momento quindi di studiare il segno di
da cui segue che
punto di minimo assoluto per
si deduce che in
Per quanto concerne lo studio del segno di
da cui segue che
In conclusione, alla luce dello studio di funzione fatto, il grafico di
2. Data la funzione
essa presenta insieme di definizione
e il proprio grafico interseca gli assi cartesiani solo in
Notando che
ne consegue che
rispetto ad
diare
specchiando quello per
e poi rispetto a quello delle ascisse.
Per quanto concerne il segno di
quindi
Passando allo studio di
da cui si evince che
nemmeno di orizzontali: è possibile però che vi siano asintoti obliqui.
Dato che si ha
si appura l'assenza anche di asintoti obliqui per
È il momento quindi di studiare il segno di
da cui segue che
mentre notando che si ha
si deduce che in
Per quanto concerne lo studio del segno di
da cui segue che
In conclusione, alla luce dello studio di funzione fatto, il grafico di
Con questo direi che i caratteri salienti delle "funzioni radici" sono stati visti. ;)
[math]f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\[/math]
definita da [math]f(x) := \sqrt[2]{x}\\[/math]
essa presenta insieme di definizione
[math]\text{dom}[f] = \left\{ x \in \mathbb{R} : x \ge 0 \right\}[/math]
e il proprio grafico interseca gli assi cartesiani solo in
[math]O(0,\,0)\\[/math]
.Per quanto concerne il segno di
[math]f\\[/math]
, si ha[math]f(x) > 0 \; \Rightarrow \; \forall\,x \in \text{dom}[f] \; , \\[/math]
quindi
[math]f[/math]
è non negativa per qualsiasi [math]x\\[/math]
reale positivo.Passando allo studio di
[math]f\\[/math]
ai limiti, si ha [math]\begin{aligned}\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \end{aligned}\\[/math]
da cui si evince che
[math]f[/math]
oltre a non avere asintoti verticali non ne ha nemmeno di orizzontali: è possibile però che vi siano asintoti obliqui.
Dato che si ha
[math]\begin{aligned}m \overset{?}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0 \end{aligned}\\[/math]
si appura l'assenza anche di asintoti obliqui per
[math]f\\[/math]
.È il momento quindi di studiare il segno di
[math]f'[/math]
in [math]\text{dom}[f]\\[/math]
:[math]f'(x) = \frac{1}{2\,\sqrt[2]{x}} \ge 0 \; \Leftrightarrow \; x > 0 \\[/math]
da cui segue che
[math]f[/math]
cresce per ogni [math]x > 0[/math]
. Quindi, [math]O[/math]
è punto di minimo assoluto per
[math]f\\[/math]
, ove notando che si ha[math]\begin{aligned} \lim_{x \to 0^+} f'(x) = +\infty \end{aligned}[/math]
si deduce che in
[math]x=0[/math]
[math]f\\[/math]
presenta tangente verticale.Per quanto concerne lo studio del segno di
[math]f''[/math]
in [math]\text{dom}[f]\\[/math]
:[math]f''(x) = - \frac{1}{4\,\sqrt[2]{x^3}} \ge 0 \; \Rightarrow \; \not\exists \,x \in \text{dom}[f]\\[/math]
da cui segue che
[math]f[/math]
è concava per qualsiasi [math]x > 0\\[/math]
.In conclusione, alla luce dello studio di funzione fatto, il grafico di
[math]f[/math]
è2. Data la funzione
[math]g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\[/math]
definita da [math]g(x) := \sqrt[3]{x}\\[/math]
essa presenta insieme di definizione
[math]\text{dom}[g] = \mathbb{R}[/math]
e il proprio grafico interseca gli assi cartesiani solo in
[math]O(0,\,0)\\[/math]
.Notando che
[math]g(-x) = \sqrt[3]{-x} = - \sqrt[3]{x} = - g(x)\\[/math]
ne consegue che
[math]g[/math]
è una funzione dispari, ossia presenta simmetria rispetto ad
[math]O[/math]
. In altri termini, grazie a tale proprietà possiamo stu-diare
[math]g[/math]
solamente per [math]x > 0[/math]
e il grafico per [math]x < 0[/math]
lo si ottiene specchiando quello per
[math]x>0[/math]
prima rispetto all'asse delle ordinate e poi rispetto a quello delle ascisse.
Per quanto concerne il segno di
[math]g\\[/math]
, si ha[math]g(x) > 0 \; \Leftrightarrow \; x > 0 \; , \\[/math]
quindi
[math]g[/math]
è negativa per [math]x < 0[/math]
e positiva per [math]x > 0\\[/math]
.Passando allo studio di
[math]g\\[/math]
ai limiti, si ha [math]\begin{aligned}\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty \end{aligned}\\[/math]
da cui si evince che
[math]g[/math]
oltre a non avere asintoti verticali non ne ha nemmeno di orizzontali: è possibile però che vi siano asintoti obliqui.
Dato che si ha
[math]\begin{aligned}m \overset{?}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{g(x)}{x} = 0 \end{aligned}\\[/math]
si appura l'assenza anche di asintoti obliqui per
[math]g\\[/math]
.È il momento quindi di studiare il segno di
[math]g'[/math]
in [math]\text{dom}[g]\\[/math]
:[math]g'(x) = \frac{1}{3\,\sqrt[3]{x^2}} \ge 0 \; \Leftrightarrow \; x < 0 \, \vee \, x > 0 \\[/math]
da cui segue che
[math]g[/math]
cresce sia per [math]x < 0[/math]
che per [math]x > 0[/math]
, mentre notando che si ha
[math]\begin{aligned} \lim_{x \to 0} g'(x) = + \infty \end{aligned}\\[/math]
si deduce che in
[math]x=0[/math]
[math]g\\[/math]
presenta tangente verticale.Per quanto concerne lo studio del segno di
[math]g''[/math]
in [math]\text{dom}[g]\\[/math]
:[math]g''(x) = - \frac{2}{9\,\sqrt[3]{x^5}} \ge 0 \; \Leftrightarrow \; x < 0 \\[/math]
da cui segue che
[math]g[/math]
è convessa per [math]x < 0[/math]
e concava per [math]x > 0\\[/math]
.In conclusione, alla luce dello studio di funzione fatto, il grafico di
[math]g[/math]
èCon questo direi che i caratteri salienti delle "funzioni radici" sono stati visti. ;)
grazie chiarissimo
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