Funzione media di una funzione (parabola, in questo caso)

[Saggio1]

Salve a tutti, mi sto scervellando da giorni sulla comanda di un problema che non riesco proprio a risolvere ma che mi interessa molto saper svolgere, quindi ho pensato di chiedere qui visto che visito spesso questo sito (ma mai da utente registrato, questa è la prima volta per me e spero non l'ultima )

Non perdiamoci in chiacchiere, veniamo subito al sodo, cercherò di essere sintetico perchè la traccia è un attimo (volutamente) dispersiva. Il problema presenta dei dati che vi mostro qui sotto, che rappresentano il fenomeno della fuga dei cervelli.

ANNO TEMPO(t) EMIGRATI
2013___0___45516
2014___1___47901
2015___2___54540

Salta immediatamente all'occhio che non si parla di una crescita lineare ma quadratica (rappresentata da un ramo di parabola con $t>0$)

L'esercizio mi chiede le seguenti cose

Costruisci un modello che rappresenti la crescita del fenomeno
Supponendo che il modello resti vero, quanti emigrati ci dovremmo aspettare nel 2020?
Costruisci un modello che rappresenti la media del fenomeno[/list:u:23580dx8]

I primi 2 sono riuscito a risolverli senza problemi ed illustro l'impostazione delle mie soluzioni per completezza

1) Ho messo in un sistema i 3 punti per i quali passa la mia parabola e ho risolto per a b e c.
$\{(c=45516),(a+b+c=47901),(4a+2b+c=54540):}$

Ho trovato quindi la parabola che rappresenta il nostro fenomeno: $e(t)=2127t^2 +258t+45516$

Per risolvere il secondo quesito ho semplicemente sostituito 7 a t.

Il terzo interrogativo invece è dove ho trovato delle difficoltà. Però, per mia fortuna, sono riuscito a trovare una soluzione commentata, ma non riesco proprio a capirla. La allego integralmente qui per evitare possibili errori di trascrizione.



Credo che ci sia qualche passaggio che mi sfugge, qualcuno potrebbe spiegarmelo? Grazie mille e scusatemi se mi sono perso in dettagli inutili

[Casio98]

Praticamente ha usato la definizione di media, somma dei primi k+1 valori fratto tale numero. Poi riordina i numeri in modo tale da avere delle successioni particolari. Quella centrale è la somma dei primi k quadrati mentre quell'altra è dei primi k numeri interi e ha utilizzato le relative formule.

[orsoulx]

I passaggi te li ha già spiegati Casio98. Però, nella quarta e quinta riga 'a' e 'b' sono state scambiate, poi dalla sesta, l'errore scompare!
Ciao