Funzione inversa esponenziale.

[Anthrax606]

Ho questa funzione:

[math]y=4x+e^x[/math]

, ho dimostrato che essa è invertibile grazie al fatto che, studiando il segno della derivata prima, essa sia strettamente crescente in tutto il suo dominio. Mi sfugge però il modo per ricavare la funzione inversa o meglio, mi compare una x sia a primo che a secondo membro.

[mc2]

E` impossibile scrivere l'inversa in forma esplicita.

[Anthrax606]

Penso di aver trovato un altro metodo.. e volendo risolvere

[math]4x+e^x=0[/math]

? Come faccio a ricavare le soluzioni?

[mc2]

Per via grafica o per approssimazione numerica con il metodo delle tangenti, secanti, ecc... ci sono molti metodi.
Ma non puoi risolverla esattamente.

[Anthrax606]

E a questo punto, la seconda parte di quest’esercizio come dovrei farla? “Dimostra che la funzione

[math]y=4x+e^x[/math]

è invertibile in tutto

[math]\mathbb{R}[/math]

. Detta

[math]g(y)[/math]

la funzione inversa, calcola

[math]g(1)[/math]

e

[math]g’(1)[/math]

.”


Risultati: g(1)=0; g’(1)=1/5

[mc2]

[math]y=f(x)=4x+e^x[/math]

allora

[math]x=f^{-1}(y)=g(y)[/math]

g(y)=1 vuol dire trovare x tale che:

[math]4x+e^x=1[/math]

(e non 0 !!!) e questa equazione va risolta graficamente o numericamente.

Se hai fatto il grafico, vedi subito che interseca l'asse delle y in (0,1), quindi

[math]4x+e^x=1[/math]

per x=0, cioe` g(1)=0


Per calcolare

[math]g'(1)[/math]

devi calcolare

[math]f'(0)[/math]

, poi usi il teorema di analisi:

[math]g'(1)=\frac{1}{f'(0)}[/math]