Funzione Iniettiva/Suriettiva e invertibilità
Salve a tutti,
vorrei proporre un quesito facilissimo (ma sono ancora alle basi).
La funzione $ f(x)=2x-3 $ non è iniettiva( e forse neanche suriettiva). Per verificarlo ho fatto la tabella a doppia entrata dlle x e delle y e verificato che y=-1 corrisponde sia a x=1 e x=-2. Giusto?
Invece volevo chiedere come si fa ad invertire una funzione biunivoca, ad esempio $ f(x)= 2x +1 $. Io pongo che $ y = 2x +1 $ quindi $ x=(y-1)/2 $ e poi ? Nel senso come faccio a fare la f^-1 (x)?
Grazie
vorrei proporre un quesito facilissimo (ma sono ancora alle basi).
La funzione $ f(x)=2x-3 $ non è iniettiva( e forse neanche suriettiva). Per verificarlo ho fatto la tabella a doppia entrata dlle x e delle y e verificato che y=-1 corrisponde sia a x=1 e x=-2. Giusto?
Invece volevo chiedere come si fa ad invertire una funzione biunivoca, ad esempio $ f(x)= 2x +1 $. Io pongo che $ y = 2x +1 $ quindi $ x=(y-1)/2 $ e poi ? Nel senso come faccio a fare la f^-1 (x)?
Grazie
Risposte
Ciao!
Presa la tua $f(x)=2x-3$ allora hai $f(1)=-1$ e $f(-2)=-7$. Quindi non hai provato che quella funzione non è iniettiva.
Per provare che una funzione è iniettiva devi partire da $f(x_1)=f(x_2)$ ed arrivare a concludere che $x_1=x_2$.
In particolare per questo caso:
$f(x_1) = 2x_1-3 = f(x_2) = 2x_2-3 \Rightarrow 2x_1=2x_2 \Rightarrow x_1=x_2$
e dunque $f$ è iniettiva.
Per provare che è suriettiva invece devi mostrare che preso $y$ qualsiasi apparente al codominio esiste un $x$ tale per cui $y=f(x)$.
In particolare per questo caso:
$y=2x-3$ e dunque scegliendo $x=\frac{y+3}{2}$ si ha che $f(\frac{y+3}{2}) = 2 \frac{y+3}{2} -3 = y$ che è quanto volevamo mostrare, e dunque $f$ è suriettiva.
Abbiamo quindi provato che $f$ è biettiva.
Un altro modo per provare che una funzione reale di variabile reale è iniettiva (o suriettiva) è il metodo grafico:
Ti disegni il grafico della funzione e
se è iniettiva ogni linea orizzontale che tracci interseca il grafico in al massimo un punto.
se è suriettiva ogni linea orizzontale che tracci interseca il grafico in almeno un punto.
Per trovare l'espressione analitica dell'inversa è sufficiente porre $y=f(x)$ e isolare la $x$ in funzione della $y$, ovvero, nel tuo caso particolare:
$y= 2x-3 \Rightarrow x = \frac{y+3}{2}$ e dunque $f^{-1}(y) = \frac{y+3}{2}$, poi puoi rinominare la variabile e scrivere $f^{-1}(x) = \frac{x+3}{2}$.
Presa la tua $f(x)=2x-3$ allora hai $f(1)=-1$ e $f(-2)=-7$. Quindi non hai provato che quella funzione non è iniettiva.
Per provare che una funzione è iniettiva devi partire da $f(x_1)=f(x_2)$ ed arrivare a concludere che $x_1=x_2$.
In particolare per questo caso:
$f(x_1) = 2x_1-3 = f(x_2) = 2x_2-3 \Rightarrow 2x_1=2x_2 \Rightarrow x_1=x_2$
e dunque $f$ è iniettiva.
Per provare che è suriettiva invece devi mostrare che preso $y$ qualsiasi apparente al codominio esiste un $x$ tale per cui $y=f(x)$.
In particolare per questo caso:
$y=2x-3$ e dunque scegliendo $x=\frac{y+3}{2}$ si ha che $f(\frac{y+3}{2}) = 2 \frac{y+3}{2} -3 = y$ che è quanto volevamo mostrare, e dunque $f$ è suriettiva.
Abbiamo quindi provato che $f$ è biettiva.
Un altro modo per provare che una funzione reale di variabile reale è iniettiva (o suriettiva) è il metodo grafico:
Ti disegni il grafico della funzione e
se è iniettiva ogni linea orizzontale che tracci interseca il grafico in al massimo un punto.
se è suriettiva ogni linea orizzontale che tracci interseca il grafico in almeno un punto.
Per trovare l'espressione analitica dell'inversa è sufficiente porre $y=f(x)$ e isolare la $x$ in funzione della $y$, ovvero, nel tuo caso particolare:
$y= 2x-3 \Rightarrow x = \frac{y+3}{2}$ e dunque $f^{-1}(y) = \frac{y+3}{2}$, poi puoi rinominare la variabile e scrivere $f^{-1}(x) = \frac{x+3}{2}$.
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