Funzione dispari e suo integrale
ma sempre l'integrale di una funzione dispari,calcolato per esempio tra $a$ e $-a$ sarà uguale a 0?? non ho mica bene capito come mai...pensavo fosse uguale a due volte l'area dell'integrale tre $0$ e $a$..
Risposte
Se $f$ fosse pari allora sarebbe come dici tu. Ma se $f$ è dispari il suo grafico è simmetrico rispetto ad $0(0,0)$. Cioè l'area che c'è tra $0$ a $a$ sarà - supponiamo - un valore $b$. Allo stesso modo l'area tra $-a$ e $0$ è $-b$. Area totale $= 0$.
E' un po' più chiaro?
E' un po' più chiaro?
si..ma l'area non è 0.. il calcolo dell'integrale può essere 0.. ma c'è..forse non ho ben chiaro il concetto di area..
Calcoliamo $int_{-a}^{a}f(x)dx$
Si ha per l'additività dell'integrale:
$int_{-a}^{a}f(x)dx=int_{-a}^{0}f(x)dx+int_{0}^{a}f(x)dx$
Analizziamo $int_{-a}^{0}f(x)dx$ e facciamo il cambiamento di variabile $t=-x$. Quindi $dt=-dx$ e $x=-a->t=a$ per cui
$int_{-a}^{0}f(x)dx=int_{a}^{0}f(-t)(-dt)=-int_{a}^{0}f(-t)dt=int_{0}^{a}f(-t)dt$
Se la funzione è dispari si ha $f(-t)=-f(t)$ per cui $int_{-a}^{0}f(x)dx=int_{0}^{a}(-f(t))dt=-int_{0}^{a}f(t)dt$ per cui
$int_{-a}^{a}f(x)dx=-int_{0}^{a}f(x)dx+int_{0}^{a}f(x)dx=0$
Se la funzione è pari si ha $f(-t)=f(t)$ per cui $int_{-a}^{0}f(x)dx=int_{0}^{a}f(t)dt$ per cui
$int_{-a}^{a}f(x)dx=int_{0}^{a}f(x)dx+int_{0}^{a}f(x)dx=2int_{0}^{a}f(x)dx$
Si ha per l'additività dell'integrale:
$int_{-a}^{a}f(x)dx=int_{-a}^{0}f(x)dx+int_{0}^{a}f(x)dx$
Analizziamo $int_{-a}^{0}f(x)dx$ e facciamo il cambiamento di variabile $t=-x$. Quindi $dt=-dx$ e $x=-a->t=a$ per cui
$int_{-a}^{0}f(x)dx=int_{a}^{0}f(-t)(-dt)=-int_{a}^{0}f(-t)dt=int_{0}^{a}f(-t)dt$
Se la funzione è dispari si ha $f(-t)=-f(t)$ per cui $int_{-a}^{0}f(x)dx=int_{0}^{a}(-f(t))dt=-int_{0}^{a}f(t)dt$ per cui
$int_{-a}^{a}f(x)dx=-int_{0}^{a}f(x)dx+int_{0}^{a}f(x)dx=0$
Se la funzione è pari si ha $f(-t)=f(t)$ per cui $int_{-a}^{0}f(x)dx=int_{0}^{a}f(t)dt$ per cui
$int_{-a}^{a}f(x)dx=int_{0}^{a}f(x)dx+int_{0}^{a}f(x)dx=2int_{0}^{a}f(x)dx$
Spiegazione intuitiva.
L'integrale ti fornisce l'area relativa (cioè con segno) di una superficie del piano cartesiano chiusa da curve. E' chiaro ed evidente che l'area geometrica non è nulla.
L'integrale ti fornisce l'area relativa (cioè con segno) di una superficie del piano cartesiano chiusa da curve. E' chiaro ed evidente che l'area geometrica non è nulla.
ma quindi l'integrale non mi calcola l'area geometrica?
"kekko89":
ma quindi l'integrale non mi calcola l'area geometrica?
Sì, se la funzione è positiva o nulla e il verso delle ascisse è crescente .
quindi $int_0^1 xdx = 1/2$ , mentre $int_0^1 -xdx = -1/2 $ ( la funzione è sempre negativa )
naturalmente $int_(-1)^1 xdx = 0 $ in quanto l'intervallo di integrazione è simmetrico rispetto all'origine , la funzione è dispari e i due contributi si cancellano : $ -1/2+1/2=0 $ .
N.B. il fatto che $int_0^1 -xdx = -1/2 $ , cioè che questo integrale fornisca un valore negativo è naturale in quanto l'integrale definito è il limite di una sommatoria di infiniti termini che sono prodotto di un "segmentino" sull'asse x e di una ordinata negativa e quindi il risultato non può che essere negativo.
L'area " geometrica " sarà $|int_0^1 -xdx |=1/2$.
N.B. bis Da quanto detto discende che il calcolo di $int_(-pi)^(pi) senx dx $ deve richiedere non più di frazioni di secondo ...
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