Funzione composta definita a tratti

[gcappellotto]

Buongiorno
sto risolvendo questo esercizio:

date le funzioni

\[
f(x)=
\begin{cases}
\sqrt{x-2} \mbox{ se } x \geq 2\\
x \mbox{ se } x < 2
\end{cases}
g(x)=
\begin{cases}
2x+1 \mbox{ se } x \geq 0\\
x-2 \mbox{ se } x < 0
\end{cases}
\]

devo trovare $(f \circ g)$

Ho svolto tenendo presente la definizione di funzione composta ed ho ottenuto:
\[
f \circ g =
\begin{cases}
\sqrt{2x-1} \mbox{ se } x \geq \frac{1}{2}\\
x-2 \mbox{ se } x < 0
\end{cases}
\]

Vedo però che sul libro viene riportato un ulteriore $2x+1$ se $0 \leq x < \frac{1}{2}$, ma non riesco a capirne il motivo.
Gradirei qualche indicazione.
Grazie e saluti.
Giovanni C.

[@melia]

Se rappresenti graficamente $g(x)$ osservi che il tratto per $x>=0$ha come immagine $y>=1$, ora nella composizione di funzioni la variabile indipendente $x$ della $f \circ g(x)$ è la $y$ della $g(x)$, tale $y$ è maggiore di 2 quando $x>1/2$, ma con $ 0 <= x<1/2$ g è definita e la sua immagine è minore di 2, quindi bisogna comporre il primo tratto della funzione g con il secondo della funzione f.
Spero di essermi spiegata.