Funzione... complicato

[fu^2]

ricavare il dominio, gli zeri e studiare il segno della funzione $y=f(x)=arcsin((lnx+1)/(lnx+2))$ e ricavare poi la funzione inversa $f(x)^-1$

allora il dominio lo ricavo facilmente, facendo il sistema
${(x>0),(lnx+2!=0),(-1<(lnx+1)/(lnx+2)<1):}
da cui ricavo che il CE=$x>e^-2$

gli zeri
intersezzione con le ordinate${(x=0),(y=arcsin(lnx+1)/(lnx+2)):}$ed è inpossibile perchè $!in C.E.$

intersezzione con le ascisse ${(y=0),(y=arcsin(lnx+1)/(lnx+2)):}$
da cui
$arcsin((lnx+1)/(lnx+2))=0$
qui non son troppo sicuro su questo passaggio... cioè $arcsin(a)=0$quando $sin(0)=a$ giusto?

quindi la mia equazione diventa$(lnx+1)/(lnx+2)=sin0$=$(lnx+1)/(lnx+2)=0$
da cui $x=e^-1$

il segno $arcsin((lnx+1)/(lnx+2))>0$ quindi
$(lnx+1)/(lnx+2)>0$
da cui $x>e^-1$


quindi fino a qui non ci sono problemi, la funzione inversa la ricavo facendo $x=arcsin((lny+1)/(lny+2))$

ora ho un pò di problemi a ricondurla alla forma y=...

cioè diventerebbe $(lny+1)/(lny+2)=sinx$
quindi $lny+1=sinx(lny+2$
$lny+1=lnysinx+2sinx$
$lny(1+sinx)=2sinx-1$
$lny=(2sinx-1)/(1+sinx)$
$y=e^((2sinx-1)/(1+sinx))$

ecco volevo sapere... i passaggi nel ricavare la funzione inversa son corretti?... mi lasciano qualche perplessità... cmq in generale l'esercizio è corretto, giusto?...

[_nicola de rosa]

"fu^2":ricavare il dominio, gli zeri e studiare il segno della funzione $y=f(x)=arcsin((lnx+1)/(lnx+2))$ e ricavare poi la funzione inversa $f(x)^-1$

allora il dominio lo ricavo facilmente, facendo il sistema
${(x>0),(lnx+2!=0),(-1<(lnx+1)/(lnx+2)<1):}
da cui ricavo che il CE=$x>e^-2$

gli zeri
intersezzione con le ordinate${(x=0),(y=arcsin(lnx+1)/(lnx+2)):}$ed è inpossibile perchè $!in C.E.$

intersezzione con le ascisse ${(y=0),(y=arcsin(lnx+1)/(lnx+2)):}$
da cui
$arcsin((lnx+1)/(lnx+2))=0$
qui non son troppo sicuro su questo passaggio... cioè $arcsin(a)=0$quando $sin(0)=a$ giusto?

quindi la mia equazione diventa$(lnx+1)/(lnx+2)=sin0$=$(lnx+1)/(lnx+2)=0$
da cui $x=e^-1$

il segno $arcsin((lnx+1)/(lnx+2))>0$ quindi
$(lnx+1)/(lnx+2)>0$
da cui $x>e^-1$


quindi fino a qui non ci sono problemi, la funzione inversa la ricavo facendo $x=arcsin((lny+1)/(lny+2))$

ora ho un pò di problemi a ricondurla alla forma y=...

cioè diventerebbe $(lny+1)/(lny+2)=sinx$
quindi $lny+1=sinx(lny+2$
$lny+1=lnysinx+2sinx$
$lny(1+sinx)=2sinx-1$
$lny=(2sinx-1)/(1+sinx)$
$y=e^((2sinx-1)/(1+sinx))$

ecco volevo sapere... i passaggi nel ricavare la funzione inversa son corretti?... mi lasciano qualche perplessità... cmq in generale l'esercizio è corretto, giusto?...

1) Il dominio è $[e^(-3/2),+infty)$
2)Non ci sono intersezioni con l'asse y
mentre con l'asse $x$ si ha $Arcsin((lnx+1)/(lnx+2))=0$ da cui $(lnx+1)/(lnx+2)=0$ $<=>$ $lnx+1=0$ $<=>$ $x=1/e$
3)$Arcsin((lnx+1)/(lnx+2))>0$ $<=>$ ${(x>=e^(-3/2)),((lnx+1)/(lnx+2)>0):}$
Ora $(lnx+1)/(lnx+2)>0$ $->$ $ x>1/e$ U $x<1/(e^2)$ per cui
$Arcsin((lnx+1)/(lnx+2))>0$ $<=>$ ${(x>=e^(-3/2)),(x>1/e x<1/(e^2)):}$ per cui
$Arcsin((lnx+1)/(lnx+2))>0$ $<=>$ $x>1/e$ ( e mi trovo con te)
4) per l'inversa $y=e^((2sinx-1)/(1-sinx))$

[fu^2]

uhm... devo rivedere il dominio allora...

si la funzione inversa ho fatto un errore di segno ... x il resto giusto, beneben