Funzione che nn ammette limite

[miik91]

ciao a tutti. Ho una domanda...sto studiando i limitie sono giunto ad una situazione che nn comprendo a fondo...il libro sta cercando di spiegarmi un esempio di funzione che nn ammette limite per x che tende a 0 :

f(x)=x/IxI

Sul libro c è scritto che per ogni valore di l che si sceglie esisterà sempre un numero epsilon>0 con la seguente proprietà: comunque si scelga ∂>0, esistono dei punti X che appartengo a (-∂,∂) , con x diverso da 0, tali che If(x)-lI>=epsilon. Dopo questo ragionamento prende il caso di epsilon=1/2 e l=1. Tuttavia nn riesco a capire bene in quanto nel caso in cui io prenda un epsilon e una l con epsilon>l nn mi ritrovo col discorso del libro in quanto in questo casoIf(x)-l

[ciampax]

Non ho capito sinceramente la tua spiegazione sul cosa non capisci. La definizione di limite ti dice che, se in questo caso si avesse

[math]\lim_{x\rightarrow 0} f(x)=\ell[/math]

allora

[math]\forall\ \epsilon>0\ \exists\ \delta>0\ :\ x\in(-\delta,\delta)\ \Rightarrow\ |f(x)-\ell|

[miik91]

ok capito diciamo che l errore che facevo è di prendere l ipotesi dell epsilon troppo grande, ipotesi che nn può essere presa in considerazione. Tuttavia mi sorgono due domande dalla tua spiegazione
1 l epsilon dovrà sempre essere minore della l
2 nella caso della funzione da me proposta il limite nn esiste perkè in realtà avvicinandoci allo 0 la f(x) tende a due valori e non aa uno solo giusto? e perciò al contrario, il limite di If(x)I per x che tende a 0 è 1 nel caso di f(x)=x/IxI??
scusa se ancora una volta nn mi sono espresso bene:(

[ciampax]

1) in realtà non è detto che

[math]\epsilon[/math]

sia più piccolo di

[math]\ell[/math]

: il fatto sostanziale è che prenderne uno troppo grande come hai fatto tu scegliendolo pari a 1 è eccessivo e va fuori dal concetto di limite, per cui è necessario avere un intorno piccolo di un punto!

2) Bé, se

[math]f(x)=x/|x|[/math]

allora

[math]|f(x)|=|x|/|x|=1[/math]

(quando

[math]x\neq 0[/math]

) per cui la tua funzione presenta quella che si dice discontinuità di terza specie: non puoi calcolarla in x=0, tuttavia il limite esiste ed è pari ad 1. Quindi puoi definire una nuova funzione (simile alla precedente) dicendo che essa è fatta così:

[math]g(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
|f(x)| & & x\neq 0\\ 1 & & x=0
\end{array}\right.[/math]

Spero sia chiaro.