Fra tutti i rombi circoscritti a un cerchio di raggio r determina quello di perimetro minimo

[RossiDani]

fra tutti i rombi circoscritti a un cerchio di raggio r determina quello di perimetro minimo
cme si fa????????

[ciampax]

Per prima cosa, dobbiamo capire che relazione intercorre tra il raggio del cerchio e il lato del rombo circoscritto. Indichiamo con

[math]r[/math]

il raggio del cerchio: la situazione che ti si presenta è quella della figura allegata.
Osserva che i quattro triangoli rettangoli sono uguali (avendo il rombo tutti e quattro i lati uguali. Se indichiamo con

[math]x[/math]

la metà dell'angolo al vertice del rombo abbiamo le relazioni seguenti:

[math]AH=\frac{OH}{\tan x}=\frac{r\cos x}{\sin x},\\ BH=OH\tan x=\frac{r\sin x}{\cos x}[/math]

e quindi il lato del rombo misura

[math]AB=\ell=AH+BH=\frac{r\cos^2 x+r\sin^2 x}{\sin x\cos x}=\frac{2r}{\sin 2x}[/math]

Pertanto la funzione che indica il perimetro è

[math]p(x)=\frac{8r}{\sin 2x}[/math]

Derivando si ha

[math]p'(x)=-\frac{16 r\cos 2x}{\sin^2 2x}[/math]

la quale si annulla per

[math]\cos 2x=0[/math]

e cioè per

[math]2x=\frac{\pi}{2}+k\pi\qquad x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}[/math]

Dal momento che [math]0