Formule goniometriche
Sto cercando di risolvere la seguente:
$ sqrt([cos (alpha-beta)-1]^2+[sen(alpha-beta)-0]^2) $
Fino al passaggio che segue, non ho avuto problemi:
$ cos^2(alpha -beta)-2cos(alpha-beta)+1+sen^2(alpha-beta) $
nei passaggi successivi, non ho compreso come fare!
Come fa ad arrivare alla seguente?
$ cos^2 beta -2cos alpha cos beta+ cos^2 alpha + sen^2 beta- 2 sen alpha sen beta + sen^2 alpha $
Il dubbio mi sorge perche' inizialmente nel paragrafo viene detto che $ cos(alpha-beta) $ non e' lo stesso di dire che $ cos alpha + cos beta $ !
Mentre mi sembra di aver capito che e' diverso!
Faccio un esempio:
$ -2cos(alpha - beta)= -2cos alpha cos beta-2sen alpha sen beta $
Come fa ad essere cosi'????
$ sqrt([cos (alpha-beta)-1]^2+[sen(alpha-beta)-0]^2) $
Fino al passaggio che segue, non ho avuto problemi:
$ cos^2(alpha -beta)-2cos(alpha-beta)+1+sen^2(alpha-beta) $
nei passaggi successivi, non ho compreso come fare!
Come fa ad arrivare alla seguente?
$ cos^2 beta -2cos alpha cos beta+ cos^2 alpha + sen^2 beta- 2 sen alpha sen beta + sen^2 alpha $
Il dubbio mi sorge perche' inizialmente nel paragrafo viene detto che $ cos(alpha-beta) $ non e' lo stesso di dire che $ cos alpha + cos beta $ !
Mentre mi sembra di aver capito che e' diverso!
Faccio un esempio:
$ -2cos(alpha - beta)= -2cos alpha cos beta-2sen alpha sen beta $
Come fa ad essere cosi'????
Risposte
Ma perchè, nella dimostrazione della
$ tg (alpha - beta) = (sen(alpha - beta))/(cos(alpha - beta)) $
Ad un certo punto si divide numeratore e denominatore per $ (cos(alpha - beta)) $
$ tg (alpha - beta) = (sen(alpha - beta))/(cos(alpha - beta)) $
Ad un certo punto si divide numeratore e denominatore per $ (cos(alpha - beta)) $
Ma per quale motivo esistono le formule di duplicazione
Mi sembra di aver capito il significato, si tratta di utilizzare le formule goniometriche, per un angolo doppio $ 2alpha $
$ sen 2alpha = sen (alpha + alpha) $
e dato i punti sulla circonferenza ......, le corde uguali delle circonferenza....., la distanza dei due punti che equivale alla lunghezza delle corde......., si arriva a:
$ sen (alpha + alpha)= sen alpha cos alpha + cos alpha sen alpha $
Ma il mio dubbio è su quest'ultima, non dovrebbe essere così
$ sen (alpha + alpha)= sen alpha cos alpha - cos alpha sen alpha $
Cioè con il segno meno al secondo membro
Mi sembra di aver capito il significato, si tratta di utilizzare le formule goniometriche, per un angolo doppio $ 2alpha $
$ sen 2alpha = sen (alpha + alpha) $
e dato i punti sulla circonferenza ......, le corde uguali delle circonferenza....., la distanza dei due punti che equivale alla lunghezza delle corde......., si arriva a:
$ sen (alpha + alpha)= sen alpha cos alpha + cos alpha sen alpha $
Ma il mio dubbio è su quest'ultima, non dovrebbe essere così
$ sen (alpha + alpha)= sen alpha cos alpha - cos alpha sen alpha $
Cioè con il segno meno al secondo membro
Parti dalla formula $sin(alpha+beta)=sinalpha*cosbeta+cosalpha*sinbeta$
Adesso al posto di $beta$ inserisci $alpha$. Cosa ottieni?
$sin(alpha+alpha)=sinalpha*cosalpha+cosalpha*sinalpha$
Quindi $sin(2alpha)=2*sinalpha*cosalpha$. Mi sembra abbastanza semplice, penso.
Adesso al posto di $beta$ inserisci $alpha$. Cosa ottieni?
$sin(alpha+alpha)=sinalpha*cosalpha+cosalpha*sinalpha$
Quindi $sin(2alpha)=2*sinalpha*cosalpha$. Mi sembra abbastanza semplice, penso.
"anonymous_c5d2a1":
Parti dalla formula $sin(alpha+beta)=sinalpha*cosbeta+cosalpha*sinbeta$
Adesso al posto di $beta$ inserisci $alpha$. Cosa ottieni?
$sin(alpha+alpha)=sinalpha*cosalpha+cosalpha*sinalpha$
Quindi $sin(2alpha)=2*sinalpha*cosalpha$. Mi sembra abbastanza semplice, penso.
Ma sul mio testo la seguente formula è così:
$sin(alpha+beta)=sinalpha*cosbeta-cosalpha*sinbeta$
vi è un meno al secondo membro!
Pechè deriva da
$sin(alpha-beta)$
Sul tuo testo la formula è così? Ho qualche dubbio.
"anonymous_c5d2a1":
Sul tuo testo la formula è così? Ho qualche dubbio.
Ecco l'immagine:
Cosa ne dici???????
Può essere un errore di stampa
L'errore è qui:
$sin(alpha+beta)=sin(alpha-(-beta))=sinalpha*cos(-beta)-cosalpha*sin(-beta)=sinalpha*cosbeta+cosalpha*sinbeta$
$sin(alpha+beta)=sin(alpha-(-beta))=sinalpha*cos(-beta)-cosalpha*sin(-beta)=sinalpha*cosbeta+cosalpha*sinbeta$
"anonymous_c5d2a1":
L'errore è qui:
$sin(alpha+beta)=sin(alpha-(-beta))=sinalpha*cos(-beta)-cosalpha*sin(-beta)=sinalpha*cosbeta+cosalpha*sinbeta$
Allora mi dai conferma che l'errore è nella stampa
In base ai tuoi step, sono pienamente convinto, ma il testo mi fa questi scherzetti
Certo l'errore è nella stampa.
Bene! Almeno adesso posso correggerlo!
Ho visto un esercizio guidato dove vengono utilizzate le formule di bisezione, ma non sto capendo il perche' del risultato....
$ sen pi/8 = sqrt((1-cos (pi/4))/(2)) $
$ sen pi/8 = sqrt((1-(sqrt(2)/2))/(2)) $
poi arriva a questo passaggio e io non sono tanto convinto...
$ sen pi/8 = sqrt(((2-sqrt(2)/2))/(4)) $
per poi arrivare a questo
$ sen pi/8 = 1/2 sqrt(((2-sqrt(2))/2)) $
Io direi che il risultato corretto, dovrebbe essere il seguente:
$ sen pi/8 = sqrt((2-sqrt(2))) $
Cosa ne dite????
$ sen pi/8 = sqrt((1-cos (pi/4))/(2)) $
$ sen pi/8 = sqrt((1-(sqrt(2)/2))/(2)) $
poi arriva a questo passaggio e io non sono tanto convinto...
$ sen pi/8 = sqrt(((2-sqrt(2)/2))/(4)) $
per poi arrivare a questo
$ sen pi/8 = 1/2 sqrt(((2-sqrt(2))/2)) $
Io direi che il risultato corretto, dovrebbe essere il seguente:
$ sen pi/8 = sqrt((2-sqrt(2))) $
Cosa ne dite????
Sono sbagliati sia il tuo risultato che quello che dici essere sul libro (ma non avrai sbagliato tu nel copiarlo?). Il mio calcolo trova conferma sui testi che ho consultato.
$sin (pi/8)=sqrt((1-sqrt 2/2)/2)=sqrt((2-sqrt 2)/2*1/2)=sqrt((2-sqrt2)/4)=sqrt(2-sqrt2)/2$
$sin (pi/8)=sqrt((1-sqrt 2/2)/2)=sqrt((2-sqrt 2)/2*1/2)=sqrt((2-sqrt2)/4)=sqrt(2-sqrt2)/2$
Ho controllato e ho copiato correttamente! Non so che dirti!
Evidentemente il tuo libro contiene numerosi errori di stampa; clamoroso quello nella formula di somma del seno, che hai riportato alla pagina 3 di questo topic. Ho ancora controllato e ti garantisco che la mia formula è quella giusta. Ti consiglio di guardare sulla tabella che hai postato quando eri agli inizi della trigonometria, quella con le funzioni goniometriche di numerosi angoli; spero ardentemente che almeno lì sia giusto.
Non immagini quanti errori ho trovato sin da quando sto studiando la matematica con questi testi! Se ben ricordi ho postato parecchi esercizi in cui non mi trovavo con i risultati, il problema era in errori di stampa!
Tutto sommato la mia fortuna e' di avere voi che mi aiutate e spesso perdo tempo a fare e rifare esercizi, quando poi ci sono errori di stampa, che rabbia
Ok, adesso vado a dare un'occhiata su quelle formule!
Tutto sommato la mia fortuna e' di avere voi che mi aiutate e spesso perdo tempo a fare e rifare esercizi, quando poi ci sono errori di stampa, che rabbia
Ok, adesso vado a dare un'occhiata su quelle formule!
Ma qual'e' il principio di identita' di due polinomi
Es. se ho:
$ a+sqrt(b)=x+2sqrt(xy)+y $
il testo mi dice che per il pricipio di identita' di due polinomi, deve essere cosi':
$ sqrt(b)=2sqrt(xy) $
e
$ x+y=a $
Es. se ho:
$ a+sqrt(b)=x+2sqrt(xy)+y $
il testo mi dice che per il pricipio di identita' di due polinomi, deve essere cosi':
$ sqrt(b)=2sqrt(xy) $
e
$ x+y=a $
Il principio di identità dei polinomi dice solo che due polinomi assumono gli stessi valori per ogni $x$ solo se hanno lo stesso grado e gli stessi coefficienti nello stesso ordine.
La frase che citi, presa a sé, è un'assurdità; molto probabilmente è preceduta da un altro discorso che le dà un senso.
La frase che citi, presa a sé, è un'assurdità; molto probabilmente è preceduta da un altro discorso che le dà un senso.
Hai ragione, ecco il contesto:
Cosa vuol dire in questo contesto
Cosa vuol dire in questo contesto
"giammaria":
Sono sbagliati sia il tuo risultato che quello che dici essere sul libro (ma non avrai sbagliato tu nel copiarlo?). Il mio calcolo trova conferma sui testi che ho consultato.
$sqrt(2-sqrt2)/2$
Ovviamente si potrà scriverlo anche così:
$sqrt(2-sqrt2)/2= 1/2sqrt(2-sqrt2)$
Giusto
Giusto l'ultimo post. Per i radicali doppi il tuo libro si esprime male e la frase giusta sarebbe stata:
"L'uguaglianza è sicuramente verificata se $x+y=a$ e $2sqrt(xy)=sqrtb$ cioè se vale il seguente sistema ..."
A me l'avevano spiegata in modo che mi sembra più semplice e che ti riferisco.
Elevando a quadrato il secondo membro ottengo
$(a+sqrt(a^2-b))/2+(a-sqrt(a^2-b))/2+2sqrt(((a+sqrt(a^2-b))(a-sqrt(a^2-b)))/4)=a+sqrt(a^2-(a^2-b))=a+sqrtb$
che è appunto il quadrato del primo membro.
"L'uguaglianza è sicuramente verificata se $x+y=a$ e $2sqrt(xy)=sqrtb$ cioè se vale il seguente sistema ..."
A me l'avevano spiegata in modo che mi sembra più semplice e che ti riferisco.
Elevando a quadrato il secondo membro ottengo
$(a+sqrt(a^2-b))/2+(a-sqrt(a^2-b))/2+2sqrt(((a+sqrt(a^2-b))(a-sqrt(a^2-b)))/4)=a+sqrt(a^2-(a^2-b))=a+sqrtb$
che è appunto il quadrato del primo membro.
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