Formule goniometriche
Sto cercando di risolvere la seguente:
$ sqrt([cos (alpha-beta)-1]^2+[sen(alpha-beta)-0]^2) $
Fino al passaggio che segue, non ho avuto problemi:
$ cos^2(alpha -beta)-2cos(alpha-beta)+1+sen^2(alpha-beta) $
nei passaggi successivi, non ho compreso come fare!
Come fa ad arrivare alla seguente?
$ cos^2 beta -2cos alpha cos beta+ cos^2 alpha + sen^2 beta- 2 sen alpha sen beta + sen^2 alpha $
Il dubbio mi sorge perche' inizialmente nel paragrafo viene detto che $ cos(alpha-beta) $ non e' lo stesso di dire che $ cos alpha + cos beta $ !
Mentre mi sembra di aver capito che e' diverso!
Faccio un esempio:
$ -2cos(alpha - beta)= -2cos alpha cos beta-2sen alpha sen beta $
Come fa ad essere cosi'????
$ sqrt([cos (alpha-beta)-1]^2+[sen(alpha-beta)-0]^2) $
Fino al passaggio che segue, non ho avuto problemi:
$ cos^2(alpha -beta)-2cos(alpha-beta)+1+sen^2(alpha-beta) $
nei passaggi successivi, non ho compreso come fare!
Come fa ad arrivare alla seguente?
$ cos^2 beta -2cos alpha cos beta+ cos^2 alpha + sen^2 beta- 2 sen alpha sen beta + sen^2 alpha $
Il dubbio mi sorge perche' inizialmente nel paragrafo viene detto che $ cos(alpha-beta) $ non e' lo stesso di dire che $ cos alpha + cos beta $ !
Mentre mi sembra di aver capito che e' diverso!
Faccio un esempio:
$ -2cos(alpha - beta)= -2cos alpha cos beta-2sen alpha sen beta $
Come fa ad essere cosi'????
Risposte
Penso che manchi il secondo membro dell'equazione per il calcolo del coseno della differenza di due angoli. Controlla bene.
"anonymous_c5d2a1":
Penso che manchi il secondo membro dell'equazione per il calcolo del coseno della differenza di due angoli. Controlla bene.
E' scritto cosi':
$ 1-2cos(alpha - beta)= -2cos alpha cos beta+1-2sen alpha sen beta $
Ho capito che è quella però si parte da qui:
$sqrt([cos(alpha-beta)-1]^2+[sen(alpha-beta)-0]^2)=sqrt([cos(beta)-cos(alpha)]^2+[sen(beta)-sen(alpha)]^2)$
Adesso elevi al quadrato entrambi i membri e sviluppi i calcoli considerando sempre la $1°$ relazione fondamentale della trigonometria. Alla fine arrivi alla tua relazione, ma per semplificare devi applicare il primo e secondo principio delle equazioni. Dovresti conoscerli penso.
$sqrt([cos(alpha-beta)-1]^2+[sen(alpha-beta)-0]^2)=sqrt([cos(beta)-cos(alpha)]^2+[sen(beta)-sen(alpha)]^2)$
Adesso elevi al quadrato entrambi i membri e sviluppi i calcoli considerando sempre la $1°$ relazione fondamentale della trigonometria. Alla fine arrivi alla tua relazione, ma per semplificare devi applicare il primo e secondo principio delle equazioni. Dovresti conoscerli penso.
Sono arrivato alle conclusioni del risultato, ma il mio dubbio e' quello che ho scritto nel mio ultimo messaggio!
Non capisco quale è il tuo dubbio.
@Bad90: vuoi sapere perchè vale $cos(alpha-beta)= cosalpha * cosbeta +sinalpha * sinbeta$?
E' la formula di sottrazione del coseno (click).
La dimostrazione si trova in rete, è una dimostrazione puramente teorica.
E' la formula di sottrazione del coseno (click).
La dimostrazione si trova in rete, è una dimostrazione puramente teorica.
La dimostrazione l'ho letta, ok, ma non riesco ad accettare, forse perche' non la sto comprendendo bene, questo:
$ cos (alpha-beta) $
perche' non e' uguale a
$ cos alpha-cos beta $
Perche' non si puo' fare?????
E dato non si possa fare, perche nella dimostrazione della distanza tra due punti, mediante le coordinate espresse in seno e coseno, invece lo fa?
$ cos (alpha-beta) $
perche' non e' uguale a
$ cos alpha-cos beta $
Perche' non si puo' fare?????
E dato non si possa fare, perche nella dimostrazione della distanza tra due punti, mediante le coordinate espresse in seno e coseno, invece lo fa?
Perchè è proprio quella la dimostrazione, la quale non ti permette di dire questo. Scusa $log(a-b)=loga-logb$? Poi cosa fa nella dimostrazione di sbagliato? Applica la formula della distanza tra due punti, effettua qualche calcolo algebrico, semplifica e ottiene la formula finale.
Ma perchè dovrebbe valere? Perchè ti piace?
Le funzioni trigonometriche non sono funzioni lineari.
Ti faccio un esempio: prendi $alpha= 90° $ e $beta= 30°$
Hai $cos(alpha-beta)= cos(60°)= 1/2$, mentre $cos(alpha)-cos(beta) = cos(90°) - cos(30°)= 0 - sqrt3/2 = -sqrt3/2$
Le funzioni trigonometriche non sono funzioni lineari.
Ti faccio un esempio: prendi $alpha= 90° $ e $beta= 30°$
Hai $cos(alpha-beta)= cos(60°)= 1/2$, mentre $cos(alpha)-cos(beta) = cos(90°) - cos(30°)= 0 - sqrt3/2 = -sqrt3/2$
"anonymous_c5d2a1":
Perchè è proprio quella la dimostrazione, la quale non ti permette di dire questo. Scusa $log(a-b)=loga-logb$? Poi cosa fa nella dimostrazione di sbagliato? Applica la formula della distanza tra due punti, effettua qualche calcolo algebrico, semplifica e ottiene la formula finale.
Aspetta, se non erro, non si puo' fare:
$log(a-b)=loga-logb$
Infatti $ loga-logb = log (a/b) $
Giusto?
Giusto non si può fare. Era un esempio per farti capire. Come questo $sqrt(a+b)!=sqrt(a)+sqrt(b)$.
Sto cercando la dimostrzione di quello che non sto capendo, ma non sto trovando nulla!
Scrivi quello di cui vuoi vedere una dimostrazione
Adesso riprovo!
Riprovi cosa? Ti ho scritto di dirci cos'è che vuoi vedere dimostrato.
"Gi8":
Riprovi cosa? Ti ho scritto di dirci cos'è che vuoi vedere dimostrato.
Ok, ti ringrazio per la disponibilità
Dunque, iniziando da questa:
$ sqrt([cos (alpha-beta)-1]^2+[sen(alpha-beta)-0]^2) $
Non capisco come fa ad ottenere questo secondo passaggio:
$ sqrt((cos alpha-cos beta)2+(sen alpha- sen beta)^2) $
Mentre io concepisco e farei direttamente questo passaggio che segue:
$ cos^2(alpha -beta)-2cos(alpha-beta)+1+sen^2(alpha-beta) $
Perchè farei così:
$ sqrt(cos^2(alpha -beta)-2cos(alpha-beta)+1+sen^2(alpha-beta))=1 $
$ (sqrt(cos^2(alpha -beta)-2cos(alpha-beta)+1+sen^2(alpha-beta)))^2=1^2 $
$ cos^2(alpha -beta)-2cos(alpha-beta)+1+sen^2(alpha-beta) $
Poi il testo mi fa il seguente passaggio successivo, che non ho compreso, ecco quì:
$ cos^2 beta -2cos alpha cos beta+ cos^2 alpha + sen^2 beta- 2 sen alpha sen beta + sen^2 alpha $
mentre i passaggi successivi, li ho compresi!
Il dubbio mi sorge perche' inizialmente nel paragrafo viene detto che $ cos(alpha-beta) $ non e' lo stesso di dire che $ cos alpha + cos beta $, mentre mi sembra di aver capito che in questi passaggi fatti sopra, tipo questo:
$ cos^2 beta -2cos alpha cos beta+ cos^2 alpha + sen^2 beta- 2 sen alpha sen beta + sen^2 alpha $
e' stato ottenuto utilizzando il seguente metodo:
$ cos^2 (alpha - beta)=cos^2 alpha - cos^2 beta $ .............
Solo se accetto questo concetto, riesco a capire perchè si è arrivati a questo:
$ cos^2 beta -2cos alpha cos beta+ cos^2 alpha + sen^2 beta- 2 sen alpha sen beta + sen^2 alpha $
Per concludere, non ho capito come ha fatto a risolvere questo:
$ 1-2cos(alpha - beta)$
Ottenendo questo:
$ 1-2cos alpha cos beta-2sen alpha sen beta $
Ecco, penso che il mio problema sia nel capire come fare a risolvere questo:
$ cos (alpha - beta) $
Facciamo così: ti faccio vedere come semplificherei io.
Partiamo da \[\sqrt{ \left[\cos (\alpha-\beta)-1\right]^2+\left[\sin(\alpha-\beta)-0\right]^2}\]
Intanto tolgo il $-0$ che non serve a nulla.
Poi elevo al quadrato (il primo è il quadrato di un binomio): \(\displaystyle \sqrt{ \cos^2(\alpha-\beta) +1-2 \cos(\alpha-\beta) +\sin^2(\alpha-\beta)} \)
Ora, per la relazione fondamentale della trigonometria si ha \(\displaystyle \cos^2(\alpha-\beta)+\sin^2(\alpha-\beta)=1\),
dunque il tutto diventa \(\displaystyle \sqrt{1+1-2\cos(\alpha-\beta)} = \sqrt{2-2\cos(\alpha-\beta)} \)
Raccolgo il $2$ e lo porto fuori: \(\displaystyle \sqrt{2} \cdot \sqrt{1- \cos(\alpha-\beta)}\)
Infine, siccome \(\displaystyle \cos(\alpha-\beta)= \cos(\alpha) \cos(\beta) +\sin(\alpha) \sin (\beta) \), il risultato finale è
\[ \sqrt{2} \cdot \sqrt{1-\cos(\alpha) \cos(\beta) -\sin(\alpha) \sin (\beta) }\]
Fin qui ci sei?
Partiamo da \[\sqrt{ \left[\cos (\alpha-\beta)-1\right]^2+\left[\sin(\alpha-\beta)-0\right]^2}\]
Intanto tolgo il $-0$ che non serve a nulla.
Poi elevo al quadrato (il primo è il quadrato di un binomio): \(\displaystyle \sqrt{ \cos^2(\alpha-\beta) +1-2 \cos(\alpha-\beta) +\sin^2(\alpha-\beta)} \)
Ora, per la relazione fondamentale della trigonometria si ha \(\displaystyle \cos^2(\alpha-\beta)+\sin^2(\alpha-\beta)=1\),
dunque il tutto diventa \(\displaystyle \sqrt{1+1-2\cos(\alpha-\beta)} = \sqrt{2-2\cos(\alpha-\beta)} \)
Raccolgo il $2$ e lo porto fuori: \(\displaystyle \sqrt{2} \cdot \sqrt{1- \cos(\alpha-\beta)}\)
Infine, siccome \(\displaystyle \cos(\alpha-\beta)= \cos(\alpha) \cos(\beta) +\sin(\alpha) \sin (\beta) \), il risultato finale è
\[ \sqrt{2} \cdot \sqrt{1-\cos(\alpha) \cos(\beta) -\sin(\alpha) \sin (\beta) }\]
Fin qui ci sei?
"Gi8":
Infine, siccome \(\displaystyle \cos(\alpha-\beta)= \cos(\alpha) \cos(\beta) +\sin(\alpha) \sin (\beta) \), il risultato finale è
\[ \sqrt{2} \cdot \sqrt{1-\cos(\alpha) \cos(\beta) -\sin(\alpha) \sin (\beta) }\]
Fin qui ci sei?
Si ci sono, l'unica cosa e come fa questo:
\(\displaystyle \cos(\alpha-\beta) \)
ad essere questo che segue ?
\(\cos(\alpha) \cos(\beta) +\sin(\alpha) \sin (\beta) \)
Ripeto, io darei per scontato fare così:
$ cos(alpha - beta)= cos alpha + cos beta $
Solo che non si può fare
L'unica cosa che mi resta da capire è solo questa cosa! Come si risolve questa
$ cos(alpha - beta) $
Che casino che hai fatto, Bad90.
L'esercizio che hai proposto ha come obiettivo proprio quello di dimostrare che
$cos(alpha-beta)= cosalpha sinalpha +cosbeta sin beta$.
Facciamo così: dimentica tutto quello che è stato detto finora e guarda questo video:
Guardalo tutto, con attenzione.
L'esercizio che hai proposto ha come obiettivo proprio quello di dimostrare che
$cos(alpha-beta)= cosalpha sinalpha +cosbeta sin beta$.
Facciamo così: dimentica tutto quello che è stato detto finora e guarda questo video:
Guardalo tutto, con attenzione.
Adesso è tutto chiaro
Ti ringrazio!
Ti ringrazio!
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