Formule di prostaferesi
nella seguente equazione: $sin4x + sin2x=sin3x$ le operazioni sono svolte utilizzando le formule di prostaferesi. e' corretto portare sin da subito il secondo membro al primo e nel primo, dato sin 2x e sin 4x applicare formule di duplicazione? vi ringrazio, alex
Risposte
Per risolvere quella equazione basta applicare le formule di prostaferesi fra $\sin(4x)$ e $\sin(2x)$, ottenendo:
$2 \sin(3x)\cos(x)=\sin(3x)$
Ora le soluzioni si determinano per $\sin(3x)=0$ e $\cos(x)=\frac{1}{2}$.
$2 \sin(3x)\cos(x)=\sin(3x)$
Ora le soluzioni si determinano per $\sin(3x)=0$ e $\cos(x)=\frac{1}{2}$.
"bad.alex":
nella seguente equazione: $sin4x + sin2x=sin3x$ le operazioni sono svolte utilizzando le formule di prostaferesi. e' corretto portare sin da subito il secondo membro al primo e nel primo, dato sin 2x e sin 4x applicare formule di duplicazione? vi ringrazio, alex
come faccio a risolvere in 2sin (3x) e cos x?
Porta al 1° membro $sin(3x)$ e mettilo in evidenza.
"bad.alex":
nella seguente equazione: $sin4x + sin2x=sin3x$ le operazioni sono svolte utilizzando le formule di prostaferesi. e' corretto portare sin da subito il secondo membro al primo e nel primo, dato sin 2x e sin 4x applicare formule di duplicazione? vi ringrazio, alex
Vi ringrazio, Laura e Tipper. Ho riprovato e finalmente mi è risultata. Grazie ancora per i vostri chiarimenti. Un caso disperato, alex
Salve a tutti, sono uno studente di ing delle tlc e ho una domanda da porvi:
mi confermate che le formule di prostaferesi sono solo delle approssimazioni e che NON sono strettamente vere?
Mi capita spesso di trovare la seguente relazione cos^2 (x)= 1/2 + 1/2 cos (2x)
Disegnando i grafici del primo e del secondo membro separatamente, mi sembra evidente che non siano la stessa funzione.
Che poi sia una buona approsimazione è un altro conto, ma non mi sembra che l'uguaglianza sia vera.
Cosa rispondete?
Grazie
mi confermate che le formule di prostaferesi sono solo delle approssimazioni e che NON sono strettamente vere?
Mi capita spesso di trovare la seguente relazione cos^2 (x)= 1/2 + 1/2 cos (2x)
Disegnando i grafici del primo e del secondo membro separatamente, mi sembra evidente che non siano la stessa funzione.
Che poi sia una buona approsimazione è un altro conto, ma non mi sembra che l'uguaglianza sia vera.
Cosa rispondete?
Grazie
No, no! è proprio quello:
$ cos(2x)=cos(x+x)=cosxcosx -sinxsinx = 2cos^2x-1 =>$
$=>cos^2x = (1/2)(cos2x +1)$;
E le formule di prostaferesi (mi limito a questa):
$cos\alpha + cos\beta =
$=cos( (\alpha +\beta)/2 +(\alpha - \beta)/2) +cos( (\alpha +\beta)/2 -(\alpha - \beta)/2)$;
ponendo:
${(p= (\alpha + \beta)/2), (q=(\alpha -\beta)/2):}$,
abbiamo perciò:
$cos\alpha + cos\beta = cos(p+q) + cos (p-q) =...=2cospcosq$.
$ cos(2x)=cos(x+x)=cosxcosx -sinxsinx = 2cos^2x-1 =>$
$=>cos^2x = (1/2)(cos2x +1)$;
E le formule di prostaferesi (mi limito a questa):
$cos\alpha + cos\beta =
$=cos( (\alpha +\beta)/2 +(\alpha - \beta)/2) +cos( (\alpha +\beta)/2 -(\alpha - \beta)/2)$;
ponendo:
${(p= (\alpha + \beta)/2), (q=(\alpha -\beta)/2):}$,
abbiamo perciò:
$cos\alpha + cos\beta = cos(p+q) + cos (p-q) =...=2cospcosq$.
OK, vi spiego un attimo cosa ha fatto sorgere il mio dubbio, così potete capire se è sfuggito qualcosa a me nel ragionamento o se c'è effettivamente qualcosa di strano.
fate il grafico della funzione (cosx)^2 e poi fate il grafico della funzione 1/2 (1 + cos 2x)
magari fatelo con un programma, così si può capire meglio ciò che sto per dire
quando le due funzioni vanno a zero, hanno due andamenti diversi
1/2 (1 + cos 2x) ha un andamento appunto "sinusoidale"
mentre (cosx)^2 nello zero cambia bruscamente andamento
se sono = non dovrebbero avere lo stesso andamento?
O sono io che non ho capito un tubo?
Grazie
fate il grafico della funzione (cosx)^2 e poi fate il grafico della funzione 1/2 (1 + cos 2x)
magari fatelo con un programma, così si può capire meglio ciò che sto per dire
quando le due funzioni vanno a zero, hanno due andamenti diversi
1/2 (1 + cos 2x) ha un andamento appunto "sinusoidale"
mentre (cosx)^2 nello zero cambia bruscamente andamento
se sono = non dovrebbero avere lo stesso andamento?
O sono io che non ho capito un tubo?
Grazie
Ciao e benvenuto nel forum!
Io ho fatto il grafico con Matlab e mi sembrano proprio identici i due grafici: le due curve sono proprio sovrapposte.
Naturalmente senza tener conto del fatto che è dimostrato che le due funzioni sono identiche...
Io ho fatto il grafico con Matlab e mi sembrano proprio identici i due grafici: le due curve sono proprio sovrapposte.
Naturalmente senza tener conto del fatto che è dimostrato che le due funzioni sono identiche...
"sturmunddrang":
...fate il grafico della funzione (cosx)^2 e poi fate il grafico della funzione 1/2 (1 + cos 2x)
Nascondo i due grafici sono nascosti per non appesantire la pagina.
Direi che sono uguali, come è stato dimostrato anche dai calcoli.
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