Formula risolutiva di integrali tosti
Risposte
uhm.. forse la formula è giusta, forse no, non lo so. però se devo essere sincero non credo che essa abbia qualche utilità (perdonami la franchezza). cioè, guarda anche tu stesso le dimensioni della formula... ecco io non credo che essa sia utile quando con il ragionamento si ottiene lo stesso risultato. secondo me è + difficile tenere a mente un formulone così che fare i vari passaggi logici e trovare il risultato. poi si incappa nei soliti dubbi di quando non si usa la formula da + di 10 minuti: "ma c'era il + o il meno? era a/q o q/a?" poi magari è un difetto mio ma sono proprio negato a ricordare le formule puramente a memoria. tipo tutte le varie formule trigonometriche (prime fra tutte prostaferesi e werner), oppure le varie balle della parabola, mi sono sempre perso coi -delta, +1, -1, b/a, a/b... nemmeno la formula del raggio della circonferenza ho mai saputo, me lo dovevo sempre trovare usando al definizione di luogo. l'unica formula che mi piace davvero e che non disimparerò MAI è quella delle equazioni di 2 grado, la famosa -b più e meno etc... quella li è diventata una specie di filastrocca ed è ben impressa nel mio cervello. A mio parere le formule hanno senso solo se rispettano 2 requisiti:
1) sono formule semplici o cmq eleganti, di facile apprendimento
2) sostituiscono un ragionamento troppo complesso e lungo per essere riprodotto ogni volta.
Questa cmq è solo una mia idea, magari sicuramente la tua formula tornerà utile a moltissima gente... a me personalmente no [:D]
cmq complimenti per la pazienza e lo sforzo per calcolarla (sempre che sia giusta, non l'ho verificata, ma dal quel pochissimo che ti conosco, scommetterei sulla sua validità [:D]
1) sono formule semplici o cmq eleganti, di facile apprendimento
2) sostituiscono un ragionamento troppo complesso e lungo per essere riprodotto ogni volta.
Questa cmq è solo una mia idea, magari sicuramente la tua formula tornerà utile a moltissima gente... a me personalmente no [:D]
cmq complimenti per la pazienza e lo sforzo per calcolarla (sempre che sia giusta, non l'ho verificata, ma dal quel pochissimo che ti conosco, scommetterei sulla sua validità [:D]
E' vero, la sua utilita' teorica e' scarsa; pero' ha il vantaggio, se e' corretta, di essere esplicita. Un calcolatore sarebbe felice di conoscerla.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Ecco la soluzione come me la da' il Maple:
1/2*p/a*log(a*x^2+b*x+c)+2/(-D)^(1/2)*atan((2*a*x+b)/(-D)^(1/2))*q-1/(-D)^(1/2)*atan((2*a*x+b)/(-D)^(1/2))*p*b/a
Dove D e' il delta.
Non ho controllato proprio bene bene, ma sembra proprio uguale alla tua dal che deduco che hai fatto i conti correttamente.
Quanto all'utilita'.... se mai ti trovassi nella situazione di doverne fare TANTI di questo tipo penso che sia utile.
1/2*p/a*log(a*x^2+b*x+c)+2/(-D)^(1/2)*atan((2*a*x+b)/(-D)^(1/2))*q-1/(-D)^(1/2)*atan((2*a*x+b)/(-D)^(1/2))*p*b/a
Dove D e' il delta.
Non ho controllato proprio bene bene, ma sembra proprio uguale alla tua dal che deduco che hai fatto i conti correttamente.
Quanto all'utilita'.... se mai ti trovassi nella situazione di doverne fare TANTI di questo tipo penso che sia utile.
Anch'io non penso che la formula possa essere molto utile da un punto di vista pratico : è comunque troppo difficile da ricordare a memoria ; troverebbe però degno posto in un manuale su come si calcolano gli integrali.
Considero invece molto positivo il lavoro di analisi e di generalizzazione fatto da fireball per arrivare a trovare la formula.
Camillo
Considero invece molto positivo il lavoro di analisi e di generalizzazione fatto da fireball per arrivare a trovare la formula.
Camillo
Vedi giacor86, io con il ragionamento per calcolare
questo particolare tipo di integrali mi ci impiccio sempre!
Questo tipo di integrali almeno a me ha dato sempre
filo da torcere, così ho pensato che ...
Ma a quanto leggo a voi non danno così tanto filo da torcere
questi particolari integrali ...
questo particolare tipo di integrali mi ci impiccio sempre!
Questo tipo di integrali almeno a me ha dato sempre
filo da torcere, così ho pensato che ...
Ma a quanto leggo a voi non danno così tanto filo da torcere
questi particolari integrali ...
io personalmente ho più difficoltà a scegliere la sostituzione giusta.. [:D]
Mi sembra quasi che dia fastidio la presenza di questa formulona per il calcolo di una famiglia di integrali, e francamente non ne capisco il motivo (invidia?). E' vero che impararsela a memoria e' impossibile, ma io loderei il lavoro fatto da Fireball, al di la' dell'utilita' della formula trovata. E' stato sicuramente istruttivo per lui aver trovato una formula di carattere generale, e non ha fatto altro che confermare le sue (notevoli, dal mio punto di vista) capacita'.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Ti ringrazio molto Luca per il tuo parere.
Ragazzi, secondo me se non ve ne fregava niente
potevate usare benissimo questo bello smile
che usano in tanti forum...
Comodo, no? Basta uno smile invece di fare lunghi giri di parole... [:D]
Ragazzi, secondo me se non ve ne fregava niente
potevate usare benissimo questo bello smile
che usano in tanti forum...
Comodo, no? Basta uno smile invece di fare lunghi giri di parole... [:D]
Io solo scritto che secondo il Matlab c'hai ragione....
Come doverosa premessa, mi associo anch’io alla schiera di coloro che apprezzano le capacità di fireball e la bontà del lavoro da lui svolto. Ciò premesso però vi è da rilevare che la formula in questione prima che da lui è già stata scoperta oltre 200 anni fa da altri e figura in qualunque tavola di integrali. Anche in rete è facilmente reperibile, ad esempio in…
http://it.wikipedia.org/wiki/Tavola_deg ... _razionali
Se fireball vuole cimentarsi a trovare una formula che invece, a quanto ne so io, non compare nei manuali, può provare a risolvere questo problema: trovare una primitiva della funzione [ln(x)]^n per n intero qualsiasi maggiore di 0…
buon divertimento…
lupo grigio
http://it.wikipedia.org/wiki/Tavola_deg ... _razionali
Se fireball vuole cimentarsi a trovare una formula che invece, a quanto ne so io, non compare nei manuali, può provare a risolvere questo problema: trovare una primitiva della funzione [ln(x)]^n per n intero qualsiasi maggiore di 0…
buon divertimento…
lupo grigio
Bravo fireball[;)]...
A noi il prof la formula ce l'aveva data 'preconfezionata'... Scrivo la formula che ci ha dato lui, equivalente ma forse un po' più semplice da ricordare (a mio parere...anche se è esattamente la stessa! [:)])
D sarebbe il delta
(2/sqrt(-D))arctan((2ax+b)/sqrt(-D)) Si vede meglio che al numeratore dell'argomento della arctan c'è la derivata dell'espressione di 2° grado...
Ancora complimenti fireball [:)]
Paola
A noi il prof la formula ce l'aveva data 'preconfezionata'... Scrivo la formula che ci ha dato lui, equivalente ma forse un po' più semplice da ricordare (a mio parere...anche se è esattamente la stessa! [:)])
D sarebbe il delta
(2/sqrt(-D))arctan((2ax+b)/sqrt(-D)) Si vede meglio che al numeratore dell'argomento della arctan c'è la derivata dell'espressione di 2° grado...
Ancora complimenti fireball [:)]
Paola
Bene, adesso abbiamo appurato che questo post
è ASSOLUTAMENTE INUTILE! [:D][:D]
Vado a chiedere ad Antonio di cancellarlo.
è ASSOLUTAMENTE INUTILE! [:D][:D]
Vado a chiedere ad Antonio di cancellarlo.
non devi cancellare nulla.. tutti hanno apprezzato la tua formula...
Ho capito, ma il link postato da lupo grigio e la
formula di prime_number sono assai migliori del
"mio" lungo formulone...
formula di prime_number sono assai migliori del
"mio" lungo formulone...
Mi spiace molto che fireball se la sia presa così a male, soprattutto per il fatto che non ce ne è ragione. Nessuno di noi, io almeno ne sono convinto, è dotato di infallibilità e ognuno di noi è in grado di dare un importante contributo...
Riguardo al problema da me posto della soluzione dell'integrale indefinito...
$int (ln x)^n* dx$ [1]
... con n intero qualunque purchè non negativo, integrale che non figura in nessuna delle tavole da me consultate, può essere affrontata in questa maniera...
Integrando una prima volta per parti si ottiene...
$int (ln x)^n* dx = x*(ln x)^n - n * int (ln x)^(n-1) dx$ [2]
Si nota subito che dopo una prima integrazione per parti, uno dei termini è un integrale simile all'originale, nel quale però la fuznione logatitmo è elevata ad n-1 e non ad n. Ciò suggerisce di applicare n volte l'integrazione per parti e al termine del procedimento si ottiene...
$int (ln x)^n*dx = x * sum_(i=0)^n (-1)^i *(n!)/((n-i)!) * (ln x)^(n-i) + c$ [3]
... nella quale c è la solita 'constante arbitraria'...
Dal momento che l'appetito vien mangiando verrebbe da chiedersi come si risolve lo stesso integrale quando n è un intero negativo. Chi vuol provarci?...
cordiali saluti
lupo grigio
Riguardo al problema da me posto della soluzione dell'integrale indefinito...
$int (ln x)^n* dx$ [1]
... con n intero qualunque purchè non negativo, integrale che non figura in nessuna delle tavole da me consultate, può essere affrontata in questa maniera...
Integrando una prima volta per parti si ottiene...
$int (ln x)^n* dx = x*(ln x)^n - n * int (ln x)^(n-1) dx$ [2]
Si nota subito che dopo una prima integrazione per parti, uno dei termini è un integrale simile all'originale, nel quale però la fuznione logatitmo è elevata ad n-1 e non ad n. Ciò suggerisce di applicare n volte l'integrazione per parti e al termine del procedimento si ottiene...
$int (ln x)^n*dx = x * sum_(i=0)^n (-1)^i *(n!)/((n-i)!) * (ln x)^(n-i) + c$ [3]
... nella quale c è la solita 'constante arbitraria'...
Dal momento che l'appetito vien mangiando verrebbe da chiedersi come si risolve lo stesso integrale quando n è un intero negativo. Chi vuol provarci?...
cordiali saluti
lupo grigio
Ma nooo [:P] la formula l'hai ricavata tu e tanto di cappello... Il post non è inutile, perchè non è conosciuta da tutti e tu invece l'hai ricavata e con questo post divulgata.. Quindi non cancellare nulla!! [:)]
Paola
ps La formula che ho dato io poi è per p=0 eh!
Paola
ps La formula che ho dato io poi è per p=0 eh!
Complimenti lupo grigio: hai ricavato la formula per
il calcolo dell'integrale di (ln x)^n !!!
il calcolo dell'integrale di (ln x)^n !!!
grazie infinite fireball!!!...
Tuttavia resta da determinare che cosa succede di una primitiva di (ln x)^n quando n è negativo. Ti invito a provare ma ti anticipo che la cosa non è così 'tranquilla' come lo è per n >=0...
cordiali saluti
lupo grigio
Tuttavia resta da determinare che cosa succede di una primitiva di (ln x)^n quando n è negativo. Ti invito a provare ma ti anticipo che la cosa non è così 'tranquilla' come lo è per n >=0...
cordiali saluti
lupo grigio
quote:
Dal momento che l'appetito vien mangiando verrebbe da chiedersi come si risolve lo stesso integrale quando n è un intero negativo. Chi vuol provarci?... [lupo grigio]
ci provo io, con un suggerimento "politico" [:)] per arrivare ad un'espressione ricorsiva in cui un esponente negativo diminuisca di valore assoluto:
la forma originale dell'inizio dell'integrale per parti
è infatti "vista da sinistra"
se la vedessimo "da destra", avremmo
cioè, cambiando nome alla variabile (m=n-1),
qui gli esponenti vanno verso lo zero; resta un intoppo per m=-1, ma è di natura diversa.
tony
P.S. la costante "a" è una piccola generalizzazione del problema originale.
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