Formula risolutiva di integrali tosti
Risposte
I miei più vivi complimenti a tony per aver risolto il problema della formula ricorsiva di integrazione per parti della funzione 1/(ln x)^n in maniera ‘politica’. Confesso che io sono arrivato alla stessa formula da lui trovata [si ottiene dalla sua ponendo m=-n…], vale a dire…
Int dx/(ln x)^n = -x/[(n-1)*(ln x)^(n-1)] + 1/(n-1) * Int dx/(ln x) ^ (n-1) [1]
… in maniera ‘non politica’ ossia integrando per parti la funzione 1/(ln x)^n moltiplicata per la funzione ‘meraviglia delle meraviglie’ x/x in modo da avere u(x)=1/[x*(lnx)^n] [fattore differenziale] e v(x)=x [fattore finito]… sta di fatto però che la funzione ‘meraviglia delle meraviglie’ pare abbia dei problemi nella sua definizione nell’intorno di x=0 e pertanto il suo uso sarebbe stato politically incorrect [:D] …
Se ora procediamo in maniera ricorsiva come fatto per n positivo ci accorgiamo che, se n>1, possiamo compiere n-1 passaggi, dopo di che ci si ferma…
Int dx/(ln x)^n 0 –x * Sum [i=1, n-1] (n-1-i)!/[(n-1)!*(ln x)^(n-i)] [2]
E’ evidente infatti che l’ultimo termine della [2] vale Int dx/ln x diviso per (n-1)!. Vale la pena di dare un’occhiata alla funzione 1/ln x, che rappresentiamo ora in figura…
Ci si può facilmente rendere conto di due cose…
a) per x=0 1/ln x vale univocamente 0
b) 1/ln x è facilmente integrabile [l’area in azzuro è Int [0
Per trovare una primitiva di 1/ln x l’integrazione per parti non è più fattibile e si deve ricorrere alla sostituzione ln x = t, ossia dx= e^t * dt. L’integrale diviene pertanto…
Int dx/ln x -> Int e^t/t dt [3]
... il quale è una funzione nota [chissà mai perchè…] con il nome di ‘logaritmo integrale’ e non può essere espressa in maniera elementare… Facendo ricorso allo sviluppo in serie di e^t e integrando termine a termine si ha…
Int e^t/t dt = ln |t| + Sum [i=1,+00] t^i/(i*i!) [4]
Ponendo t= ln x si ottiene il risultato finale…
Int dx/ln x = ln |ln x| + Sum [i=1,+00] (ln x)^i/(i*i!) [5]
Confrontando fra loro la [2] e la [5] si arriva alla conclusione che una primitiva di 1/(ln x)^n con è esprimibile come una sorta di serie del tipo…
Int dx/(ln x)^n = Sum [-n+1<=i<+00) a(i) * (ln x) ^i + ln |ln x| [6]
… in cui a(0)=c è una costante arbitraria…
Qualcuno si chiederà il perché abbia sollevato il problema della ricerca delle primitive di Ln(x) = (ln x) ^n per n sia positivo sia negativo. Vi dirò che le proprietà emerse mi paiono interessanti e non è escluso che possano avere qualche applicazione altrettanto interessante…
cordiali saluti
lupo grigio
Int dx/(ln x)^n = -x/[(n-1)*(ln x)^(n-1)] + 1/(n-1) * Int dx/(ln x) ^ (n-1) [1]
… in maniera ‘non politica’ ossia integrando per parti la funzione 1/(ln x)^n moltiplicata per la funzione ‘meraviglia delle meraviglie’ x/x in modo da avere u(x)=1/[x*(lnx)^n] [fattore differenziale] e v(x)=x [fattore finito]… sta di fatto però che la funzione ‘meraviglia delle meraviglie’ pare abbia dei problemi nella sua definizione nell’intorno di x=0 e pertanto il suo uso sarebbe stato politically incorrect [:D] …
Se ora procediamo in maniera ricorsiva come fatto per n positivo ci accorgiamo che, se n>1, possiamo compiere n-1 passaggi, dopo di che ci si ferma…
Int dx/(ln x)^n 0 –x * Sum [i=1, n-1] (n-1-i)!/[(n-1)!*(ln x)^(n-i)] [2]
E’ evidente infatti che l’ultimo termine della [2] vale Int dx/ln x diviso per (n-1)!. Vale la pena di dare un’occhiata alla funzione 1/ln x, che rappresentiamo ora in figura…
Ci si può facilmente rendere conto di due cose…
a) per x=0 1/ln x vale univocamente 0
b) 1/ln x è facilmente integrabile [l’area in azzuro è Int [0
Per trovare una primitiva di 1/ln x l’integrazione per parti non è più fattibile e si deve ricorrere alla sostituzione ln x = t, ossia dx= e^t * dt. L’integrale diviene pertanto…
Int dx/ln x -> Int e^t/t dt [3]
... il quale è una funzione nota [chissà mai perchè…] con il nome di ‘logaritmo integrale’ e non può essere espressa in maniera elementare… Facendo ricorso allo sviluppo in serie di e^t e integrando termine a termine si ha…
Int e^t/t dt = ln |t| + Sum [i=1,+00] t^i/(i*i!) [4]
Ponendo t= ln x si ottiene il risultato finale…
Int dx/ln x = ln |ln x| + Sum [i=1,+00] (ln x)^i/(i*i!) [5]
Confrontando fra loro la [2] e la [5] si arriva alla conclusione che una primitiva di 1/(ln x)^n con è esprimibile come una sorta di serie del tipo…
Int dx/(ln x)^n = Sum [-n+1<=i<+00) a(i) * (ln x) ^i + ln |ln x| [6]
… in cui a(0)=c è una costante arbitraria…
Qualcuno si chiederà il perché abbia sollevato il problema della ricerca delle primitive di Ln(x) = (ln x) ^n per n sia positivo sia negativo. Vi dirò che le proprietà emerse mi paiono interessanti e non è escluso che possano avere qualche applicazione altrettanto interessante…
cordiali saluti
lupo grigio
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