Forma alternativa di un polinomio
Facendo l'integrale indefinito di una funzione, ho trovato questo polinomio
\(\displaystyle 1-x \)
Da alcune ricerche in rete, ho trovato che questo polinomio si può scrivere in questa forma:
\(\displaystyle \dfrac{1}{2}(2x+1) + \left(-\dfrac{3}{2}\right) \)
Dal momento che è un quesito inerente ai polinomi, ho trovato giusto scriverlo in questa sezione.
Esiste una procedura specifica per scrivere il polinomio in questa forma, o bisogna solamente andare ad intuito?
Grazie in anticipo
\(\displaystyle 1-x \)
Da alcune ricerche in rete, ho trovato che questo polinomio si può scrivere in questa forma:
\(\displaystyle \dfrac{1}{2}(2x+1) + \left(-\dfrac{3}{2}\right) \)
Dal momento che è un quesito inerente ai polinomi, ho trovato giusto scriverlo in questa sezione.
Esiste una procedura specifica per scrivere il polinomio in questa forma, o bisogna solamente andare ad intuito?
Grazie in anticipo
Risposte
Guarda che non sono uguali, uno è l'opposto dell'altro ...
Sorry, non avevo letto che avevano moltiplicato numeratore e denominatore per -1, ragion per cui il polinomio è
\(\displaystyle -(x-1) \)
In ogni caso, qualcuno può dirmi gentilmente come si arriva alla forma alternativa?
\(\displaystyle -(x-1) \)
In ogni caso, qualcuno può dirmi gentilmente come si arriva alla forma alternativa?
Attento che moltiplicare numeratore e denominatore per lo stesso numero non cambia il segno del polinomio ...
Comunque, a meno di esigenze specifiche richieste dal contesto in cui hai trovato la seconda espressione, non vedo il motivo per scriverlo in quel modo ... la prima forma ($x-1$) è denominata "forma normale" se non ricordo male ... le altre forme sono infinite ... $1/3(3x-1)+(-2/3)$ oppure $4/3x-7/2+5(1/2-x/15)$ ...
Comunque, a meno di esigenze specifiche richieste dal contesto in cui hai trovato la seconda espressione, non vedo il motivo per scriverlo in quel modo ... la prima forma ($x-1$) è denominata "forma normale" se non ricordo male ... le altre forme sono infinite ... $1/3(3x-1)+(-2/3)$ oppure $4/3x-7/2+5(1/2-x/15)$ ...
http://www.integral-calculator.com/
La funzione di cui si deve calcolare la primitiva è questa:
\(\displaystyle \dfrac{1-x}{x^{2}+x+1} \)
Nel primo step, si nota che la frazione cambia di segno, e quindi il numeratore diventa \(\displaystyle x-1 \)
Poi nel secondo step dice Write \(\displaystyle x-1 \) as \(\displaystyle \dfrac{1}{2}(2x+1) + \left(-\dfrac{3}{2}\right) \)
Volevo sapere solo la procedura per ottenere quella forma alternativa
La funzione di cui si deve calcolare la primitiva è questa:
\(\displaystyle \dfrac{1-x}{x^{2}+x+1} \)
Nel primo step, si nota che la frazione cambia di segno, e quindi il numeratore diventa \(\displaystyle x-1 \)
Poi nel secondo step dice Write \(\displaystyle x-1 \) as \(\displaystyle \dfrac{1}{2}(2x+1) + \left(-\dfrac{3}{2}\right) \)
Volevo sapere solo la procedura per ottenere quella forma alternativa
Semplicemente perché gli serve per calcolare l'integrale ... 
Scrivendola in quel modo puoi dividere l'integrale in due pari (o meglio in due addendi), nel primo dei quali il numeratore è la derivata del denominatore ...
Scrivendola in quel modo puoi dividere l'integrale in due pari (o meglio in due addendi), nel primo dei quali il numeratore è la derivata del denominatore ...
Si, e come ci si arriva a quella forma?
Non c'è un automatismo ... devi ragionarci sopra ... in questo caso il risolutore ha notato che la derivata del denominatore è $2x+1$ quindi ha manipolato il numeratore in modo che un addendo avesse quel fattore ...
Soluzione trovata 
Basta dividere i due polinomi: \(\displaystyle \dfrac{x-1}{2x+1} \)
polinomio quoziente: \(\displaystyle \dfrac{1}{2} \)
polinomio resto: \(\displaystyle -\dfrac{3}{2} \)
\(\displaystyle x-1 = \dfrac{1}{2}(2x+1) + \left(-\dfrac{3}{2}\right) \)
Basta dividere i due polinomi: \(\displaystyle \dfrac{x-1}{2x+1} \)
polinomio quoziente: \(\displaystyle \dfrac{1}{2} \)
polinomio resto: \(\displaystyle -\dfrac{3}{2} \)
\(\displaystyle x-1 = \dfrac{1}{2}(2x+1) + \left(-\dfrac{3}{2}\right) \)
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