Fisica
Ripropongo il testo di un problema che era stato posto qualche settimana fa nella sezione generale e che non era stato risolto.
Due sonde spaziali vengono lanciate dalla Terra usando razzi che agiscono solamente per pochi minuti. La prima sonda deve poter sfuggire dal sistema solare mentre la seconda dovrà cadere sul Sole.
a) Calcolare la minima energia che il razzo deve imprimere alla prima sonda.
b) Dimostrare che il razzo usato per la seconda sonda deve essere più potente di quello usato prima.
Come fareste voi?
Due sonde spaziali vengono lanciate dalla Terra usando razzi che agiscono solamente per pochi minuti. La prima sonda deve poter sfuggire dal sistema solare mentre la seconda dovrà cadere sul Sole.
a) Calcolare la minima energia che il razzo deve imprimere alla prima sonda.
b) Dimostrare che il razzo usato per la seconda sonda deve essere più potente di quello usato prima.
Come fareste voi?
Risposte
Ciao Giuseppe, per il primo punto ti serve essenzialmente la terza velocità cosmica (velocità di fuga dal Sistema Solare) che è 44,6 km al secondo.
Ti puoi calcolare la terza velocità cosmica in modo veloce con questa approssimazione: nella formula della velocità di fuga V= SQRT(2GM/R), la massa M è la massa del Sole (che rappresenta oltre il 99,9% della massa di tutto il Sistema Solare), invece R è il semiasse dell'orbita terrestre (una Unità Astronomica). E' una approssimazione ovviamente, sbagliata di 4 km/s (devi considerare anche le masse degli altri pianeti...).
Poi ti calcoli semplicemente l'energia che devi imprimere a un razzo di massa M per raggiungere tale velocità.
In realtà, anche conoscendo a priori la terza velocità cosmica, il problema nella sua interezza è molto più complesso. Infatti, la Terra non è ferma nel Sistema Solare, possiede una sua velocità, che è posseduta anche dal razzo. Quindi il razzo in realtà non parte da fermo (nel sistema di riferimento centrato sul Sole). Altro problema: come fare a calcolare con precizione l'energia necessaria? Un razzo è un sistema estremamente complesso dal punto di vista energetico, man mano che sale il suo peso diminuisce (il propellente viene bruciato), diminuisce l'accelerazione di gravità a cui è sottoposto, diminuisce l'attrito con l'aria (mai visto lo sfondamento del muro del suono durante il lancio di uno Space Shuttle?). Spero di non averti confuso le idee, magari è molto più facile di quello che penso io, ma con gli strumenti matematici di cui dispongo non sono sicuro di poteri dare una risposta esauriente, anche se l'argomento è fra i miei preferiti.
Vedi questi appunti di Astrodinamica se vuoi, http://copernico.dm.unipi.it/~milani/dinsis/node45.html
ma se sei al liceo non penso che possano richiedere più di tanto.
Per la seconda domanda fammici pensare un pò...
Ciao!
Fabio
Ti puoi calcolare la terza velocità cosmica in modo veloce con questa approssimazione: nella formula della velocità di fuga V= SQRT(2GM/R), la massa M è la massa del Sole (che rappresenta oltre il 99,9% della massa di tutto il Sistema Solare), invece R è il semiasse dell'orbita terrestre (una Unità Astronomica). E' una approssimazione ovviamente, sbagliata di 4 km/s (devi considerare anche le masse degli altri pianeti...).
Poi ti calcoli semplicemente l'energia che devi imprimere a un razzo di massa M per raggiungere tale velocità.
In realtà, anche conoscendo a priori la terza velocità cosmica, il problema nella sua interezza è molto più complesso. Infatti, la Terra non è ferma nel Sistema Solare, possiede una sua velocità, che è posseduta anche dal razzo. Quindi il razzo in realtà non parte da fermo (nel sistema di riferimento centrato sul Sole). Altro problema: come fare a calcolare con precizione l'energia necessaria? Un razzo è un sistema estremamente complesso dal punto di vista energetico, man mano che sale il suo peso diminuisce (il propellente viene bruciato), diminuisce l'accelerazione di gravità a cui è sottoposto, diminuisce l'attrito con l'aria (mai visto lo sfondamento del muro del suono durante il lancio di uno Space Shuttle?). Spero di non averti confuso le idee, magari è molto più facile di quello che penso io, ma con gli strumenti matematici di cui dispongo non sono sicuro di poteri dare una risposta esauriente, anche se l'argomento è fra i miei preferiti.
Vedi questi appunti di Astrodinamica se vuoi, http://copernico.dm.unipi.it/~milani/dinsis/node45.html
ma se sei al liceo non penso che possano richiedere più di tanto.
Per la seconda domanda fammici pensare un pò...
Ciao!
Fabio
Ciao Giuseppe. Nella sezione generale avevi scritto:
"Ma sei sicuro che il razzo usato per la seconda sonda deve essere più potente di quello usato per la prima??
No perchè pensandoci subito così senza fare nessun calcolo, la prima sonda deve sfuggire all'attrazione gravitazionale della Terra e del Sole, mentre la seconda deve dirigersi nel verso della forza gravitazionale del Sole. Quindi penso che il razzo usato per la prima sonda debba essere più potente di quello usato per la seconda, nel senso che dovrebbe conferirgli più energia."
non è così, ora ti spiego.
Come ti avevo detto, un razzo per sfuggire dal sistema solare deve raggiungere la terza velocità cosmica, 44.6 km/s nel sistema di riferimento del Sole. Ora, nel sistema di riferimento terrestre un razzo prima di partire è fermo, invece nel sistema di riferimento solare è già in moto a più di 30 km/s (velocità di rivoluzione terrestre). Quindi un razzo, viaggiando nella stessa direzione della terra (come usualmente avviene) deve accelerare solo di una quindicina di km/s (rispetto alla Terra) per raggiungere la velocità di fuga. Per cadere sul Sole ci vuole MOLTA più energia perchè, strano ma vero, il razzo deve... frenare! Infatti per cadere sul Sole, il razzo deve uscire dall'orbita terrestre e immettersi in un'orbita più stretta, che si intersechi col Sole. Quindi lo sventurato razzo deve azzerare la sua velocità tangenziale (acquisita dal moto di rivoluzione terrestre) per poi venire accelerato dal Sole in un'orbita di collisione con esso. Quindi, "sparando un pò di numeri" (non ho tempo di fare calcoli ora, magari domenica), per uscire dal Sistema solare il razzo deve accelerare di 15 km/s, per collidere contro il Sole deve frenare di 30 km/s. Ergo, ci vuole più energia.
Chiaro?
Fabio
"Ma sei sicuro che il razzo usato per la seconda sonda deve essere più potente di quello usato per la prima??
No perchè pensandoci subito così senza fare nessun calcolo, la prima sonda deve sfuggire all'attrazione gravitazionale della Terra e del Sole, mentre la seconda deve dirigersi nel verso della forza gravitazionale del Sole. Quindi penso che il razzo usato per la prima sonda debba essere più potente di quello usato per la seconda, nel senso che dovrebbe conferirgli più energia."
non è così, ora ti spiego.
Come ti avevo detto, un razzo per sfuggire dal sistema solare deve raggiungere la terza velocità cosmica, 44.6 km/s nel sistema di riferimento del Sole. Ora, nel sistema di riferimento terrestre un razzo prima di partire è fermo, invece nel sistema di riferimento solare è già in moto a più di 30 km/s (velocità di rivoluzione terrestre). Quindi un razzo, viaggiando nella stessa direzione della terra (come usualmente avviene) deve accelerare solo di una quindicina di km/s (rispetto alla Terra) per raggiungere la velocità di fuga. Per cadere sul Sole ci vuole MOLTA più energia perchè, strano ma vero, il razzo deve... frenare! Infatti per cadere sul Sole, il razzo deve uscire dall'orbita terrestre e immettersi in un'orbita più stretta, che si intersechi col Sole. Quindi lo sventurato razzo deve azzerare la sua velocità tangenziale (acquisita dal moto di rivoluzione terrestre) per poi venire accelerato dal Sole in un'orbita di collisione con esso. Quindi, "sparando un pò di numeri" (non ho tempo di fare calcoli ora, magari domenica), per uscire dal Sistema solare il razzo deve accelerare di 15 km/s, per collidere contro il Sole deve frenare di 30 km/s. Ergo, ci vuole più energia.
Chiaro?
Fabio
Per il primo punto sono pienamente d'accordo con te. [:D]
Per il secondo ancora non sono molto convinto [:p]; il ragionamento che fai tu è fattibile ma devo pensarci un pò su e tentare di formalizzare in termini matematici. E come tu hai ben detto seguendo il tuo ragionamento questo potrebbe risultare non poco difficile.
Ti ringrazio tanto per esserti cimentato. A presto.
Per il secondo ancora non sono molto convinto [:p]; il ragionamento che fai tu è fattibile ma devo pensarci un pò su e tentare di formalizzare in termini matematici. E come tu hai ben detto seguendo il tuo ragionamento questo potrebbe risultare non poco difficile.
Ti ringrazio tanto per esserti cimentato. A presto.
Ciao Giuseppe, fammi sapere se ci sono sviluppi perchè è un argomento che mi sta molto a cuore... Appena trovo un pò di tempo (maledetto latino...) mi ci getto anche io sui calcoli!!! 
Con questo post guadagno la mia prima "stelletta" in questo forum... e per un astrofilo come me non sai quanto sia importante!!!
Fabio
Con questo post guadagno la mia prima "stelletta" in questo forum... e per un astrofilo come me non sai quanto sia importante!!!
Fabio
Ciao Saturn
Leggi e dimmi che ne pensi:
Se non dovessi visualizzare l'immagine vai al link http://img346.imageshack.us/img346/944/ ... one6ig.gif
Leggi e dimmi che ne pensi:
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Ciao Giuseppe, sì, mi sembra corretto!!! Bravissimo!!!
Ma davvero è così facile? Io ho la pessima abitudine di cercare di complicare le cose, confondendomi da solo... E' vero, in alcuni casi, come dice la pubblicità... "pensare troppo fa male..."
Comunque, nella prima risoluzione non mi sembra che si consideri il fatto che il razzo possieda già, nel sistema di riferimento solare, una certa velocità dovuta alla rivoluzione terrestre. Domattina ci penso un pò, magari durante l'ora di latino... E' l'unico momento veramente libero della giornata, del resto fare questi calcoli è decisamente meglio che dormire...!!!
Fabio
Ma davvero è così facile? Io ho la pessima abitudine di cercare di complicare le cose, confondendomi da solo... E' vero, in alcuni casi, come dice la pubblicità... "pensare troppo fa male..."
Comunque, nella prima risoluzione non mi sembra che si consideri il fatto che il razzo possieda già, nel sistema di riferimento solare, una certa velocità dovuta alla rivoluzione terrestre. Domattina ci penso un pò, magari durante l'ora di latino... E' l'unico momento veramente libero della giornata, del resto fare questi calcoli è decisamente meglio che dormire...!!!
Fabio
Il fatto che la sonda possegga già una velocità iniziale legata al moto di rivoluzione è, secondo me, un ulteriore prova a favore della tesi. Infatti se la sonda è già in movimento, se viene lanciata nella direzione della velocità tangenziale della Terra allora occorrerà meno energia per fargli raggiungere la terza velocità cosmica. Quindi L1 risulterebbe minore del valore trovato e alla sonda servirebbe ancora minore potenza.
Cosa ne pensate?
Cosa ne pensate?
Assolutamente sì. Infatti la tesi è dimostrata, io mi chiedevo solo se il valore relativo al primo esercizio sia corretto o meno, considerando la velocità della Terra.
Fabio
Fabio
Bravissimo Giuseppe, hai risolto il problema che avevevo proposto nella sezione generale!
Ma lo sai che era un problema della prova nazionale delle olimpiadi di fisica di qualche anno fa.
Cmq è da qualche giorno che non riuscivo ad entrare nel forum, come mai?[?]
Ma lo sai che era un problema della prova nazionale delle olimpiadi di fisica di qualche anno fa.
Cmq è da qualche giorno che non riuscivo ad entrare nel forum, come mai?[?]
Attenzione Antonio non cantiamo vittoria troppo presto!
Abbiamo bisogno di qualche conferma da qualche fisico più bravo di noi. A tal proposito, se qualcuno vollesse controllare sarà il benvenuto.
Abbiamo bisogno di qualche conferma da qualche fisico più bravo di noi. A tal proposito, se qualcuno vollesse controllare sarà il benvenuto.
Dovrebbe essere giusto...
Cmq perche giorni fa nn potevo entrare nel forum?
Cmq perche giorni fa nn potevo entrare nel forum?
C'era stato un problema sul server di Aruba, il provider che ospita il sito.
A) Chiamiamo Vt = sqrt(GM/R)la velocità orbitale della Terra. L'energia potenziale gravitazionale iniziale della sonda è dovuta principalmente al Sole per cui si ha:
Epot = -GMm/R = -mVt^2
Per sfuggire al sistema solare l'energia meccanica della sonda deve essere maggiore o uguale a zero.
Quindi deve essere:
Etot = Ecin + Epot = 0
L'energia cinetica massima della sonda si ha quando essa viene lanciata nella direzione del moto della Terra. L'energia totale della sonda è dunque:
m(v1 + Vt)^2/2 - mVt^2 = 0
Da essa si ricava v1 = [sqrt(2) - 1]Vt.
B) Per cadere sul Sole la sonda deve avere un momento angolare nullo rispetto al Sole. Questo si ha quando la sonda viene lanciata con velocità Vt in direzione opposta rispetto al moto della Terra. Si ha perciò v2 = Vt.
Epot = -GMm/R = -mVt^2
Per sfuggire al sistema solare l'energia meccanica della sonda deve essere maggiore o uguale a zero.
Quindi deve essere:
Etot = Ecin + Epot = 0
L'energia cinetica massima della sonda si ha quando essa viene lanciata nella direzione del moto della Terra. L'energia totale della sonda è dunque:
m(v1 + Vt)^2/2 - mVt^2 = 0
Da essa si ricava v1 = [sqrt(2) - 1]Vt.
B) Per cadere sul Sole la sonda deve avere un momento angolare nullo rispetto al Sole. Questo si ha quando la sonda viene lanciata con velocità Vt in direzione opposta rispetto al moto della Terra. Si ha perciò v2 = Vt.
MaMo per il punto A va bene, mentre non ho capito bene il punto B, soprattutto la parte relativa al momento angolare.
Eh già, MaMo ha ragione. Se il momento angolare della sonda rispetto al Sole è nullo, vuol dire:
- o che la distanza fra la sonda è il Sole è nulla (assurdo)
- o che la quantità di moto della sonda rispetto al Sole è nulla (cioè in pratica la sonda è ferma)
- o che il vettore velocità è diretto verso il Sole...
In tutti e tre i casi, la sonda cade sul Sole...
Fabio
- o che la distanza fra la sonda è il Sole è nulla (assurdo)
- o che la quantità di moto della sonda rispetto al Sole è nulla (cioè in pratica la sonda è ferma)
- o che il vettore velocità è diretto verso il Sole...
In tutti e tre i casi, la sonda cade sul Sole...
Fabio
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