Figura unita
Salve,non ho ben capito cosa significhi figura unita. Il libro riporta questa definizione:
"una figura si dice unita rispetto a una data trasformazione se la sua corrispondente nella trasformazione è se stessa";
in seguito spiega come:
"sia r una retta. Consideriamo la trasformazione f così definita: a ciascun punto P del piano associamo il punto P' che si sovrappone a P quando immaginiamo di "piegare il piano" lungo r come se fosse un foglio di carta."
Parlando poi di simmetria centrale afferma che l'unico punto unito è il centro della simmetria...
Domanda:perche?
Eseguendo la simmetria centrale di un punto A rispetto a O,ottengo A';poi traccio una retta s perpendicolare ad AA' passante per O,se piego il foglio lungo s,i punti A e A' non combaciano perfettamente? Perchè non posso dire che A è unito? Potete spiegarmi cosa si intende per figura unita?
"una figura si dice unita rispetto a una data trasformazione se la sua corrispondente nella trasformazione è se stessa";
in seguito spiega come:
"sia r una retta. Consideriamo la trasformazione f così definita: a ciascun punto P del piano associamo il punto P' che si sovrappone a P quando immaginiamo di "piegare il piano" lungo r come se fosse un foglio di carta."
Parlando poi di simmetria centrale afferma che l'unico punto unito è il centro della simmetria...
Domanda:perche?
Eseguendo la simmetria centrale di un punto A rispetto a O,ottengo A';poi traccio una retta s perpendicolare ad AA' passante per O,se piego il foglio lungo s,i punti A e A' non combaciano perfettamente? Perchè non posso dire che A è unito? Potete spiegarmi cosa si intende per figura unita?
Risposte
Figura unità e punto unito devono restare invariati rispetto ad una trasformazione.
Per esempio prendiamo un rettangolo e una trasformazione simmetrica centrale dove il centro di simmetria è l'incontro delle 2 diagonali. La figura resta se stessa nonostante i vari punti che la compongono vengano riflessi. Pertanto la figura è unità rispetto a questa trasformazione e resta al medesimo "posto".
Se invece parliamo dei singoli punti allora vengono riflessi tutti e quindi non restano identici a se stessi (si sono spostati) eccetto il punto di simmetria che è rimasto invariato rispetto alla trasformazione.
La trasformazione per piegamento invece associa i punti a se stessi.
Puoi pensarla come una rotazione di 360 gradi.
Per esempio prendiamo un rettangolo e una trasformazione simmetrica centrale dove il centro di simmetria è l'incontro delle 2 diagonali. La figura resta se stessa nonostante i vari punti che la compongono vengano riflessi. Pertanto la figura è unità rispetto a questa trasformazione e resta al medesimo "posto".
Se invece parliamo dei singoli punti allora vengono riflessi tutti e quindi non restano identici a se stessi (si sono spostati) eccetto il punto di simmetria che è rimasto invariato rispetto alla trasformazione.
La trasformazione per piegamento invece associa i punti a se stessi.
Puoi pensarla come una rotazione di 360 gradi.
Il messaggio di Bokonon è arrivato quando la mia risposta era già pronta; la mando comunque, pensando che non è male avere due risposte.
Stai mescolando fra loro due concetti diversi: la simmetria centrale e la simmetria ad una retta (quella che chiami trasformazione f).
Nella simmetria di centro O congiungi il punto A con O e prolunghi di altrettanto, ottenendo A'. E' chiaro che in generale A' non coincide con A e quindi non si tratta di un punto unito; solo il simmetrico di O coincide con se stesso, quindi O è l'unico punto unito.
Veniamo ora alla simmetria rispetto alla retta r: il punto A', simmetrico di A, si trova nel modo che indichi, cioè piegando il foglio (oppure puoi dire che A' è l'iimagine di A riflessa dallo specchio r). Quando però raddrizzi il foglio, A in generale non coincide con A', quindi non si tratta di un punto unito. Ho detto "in generale" perché se A è un punto di r coincide con A': in questa trasformazione tutti i punti di r sono uniti.
Stai mescolando fra loro due concetti diversi: la simmetria centrale e la simmetria ad una retta (quella che chiami trasformazione f).
Nella simmetria di centro O congiungi il punto A con O e prolunghi di altrettanto, ottenendo A'. E' chiaro che in generale A' non coincide con A e quindi non si tratta di un punto unito; solo il simmetrico di O coincide con se stesso, quindi O è l'unico punto unito.
Veniamo ora alla simmetria rispetto alla retta r: il punto A', simmetrico di A, si trova nel modo che indichi, cioè piegando il foglio (oppure puoi dire che A' è l'iimagine di A riflessa dallo specchio r). Quando però raddrizzi il foglio, A in generale non coincide con A', quindi non si tratta di un punto unito. Ho detto "in generale" perché se A è un punto di r coincide con A': in questa trasformazione tutti i punti di r sono uniti.
Quindi se ho ben capito un "elemento geometrico" si dice unito,se in seguito ad una trasformazione resta immutato in tutto e per tutto, anche nella posizione.
Prendendo un cerchio posso considerare la sua simmetria centrale senza apportare nessuna modifica alla figura,di conseguenza il cerchio è una figura unita rispetto alla simmetria centrale;ma considerando i punti,solo il centro O è unito,perchè se devo considerare i vari punti corrispondenti nella trasformazione cambia la posizione di quest'ultimi.
Ho capito bene?
Prendendo un cerchio posso considerare la sua simmetria centrale senza apportare nessuna modifica alla figura,di conseguenza il cerchio è una figura unita rispetto alla simmetria centrale;ma considerando i punti,solo il centro O è unito,perchè se devo considerare i vari punti corrispondenti nella trasformazione cambia la posizione di quest'ultimi.
Ho capito bene?
"zaser123":
Quindi se ho ben capito un "elemento geometrico" si dice unito,se in seguito ad una trasformazione resta immutato in tutto e per tutto, anche nella posizione.
Non esattamente. Se, dopo una trasformazione, un luogo geometrico resta invariato in modo tale che $f(p)=p$, ovvero se tutti i punti che lo compongono sono uniti, allora è una figura fissa. Per esempio, l'asse della trasformazione
"riflessione".
"zaser123":
Prendendo un cerchio posso considerare la sua simmetria centrale senza apportare nessuna modifica alla figura,di conseguenza il cerchio è una figura unita rispetto alla simmetria centrale;ma considerando i punti,solo il centro O è unito,perchè se devo considerare i vari punti corrispondenti nella trasformazione cambia la posizione di quest'ultimi.
Ho capito bene?
Hai capito benissimo. In questo caso, rispetto alla trasformazione "simmetria centrale", la circonferenza è una figura unita perché è un sostegno che resta identico a se stesso nonostante non sia composta da punti uniti.
Riassumendo data una specifica trasformazione, dovrai individuare i luoghi geometrici totalmente invarianti ed eventualmente le figure unite.
Ok,grazie davvero.
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