Fattorizzazione unica..

[aleio1]

Ciao a tutti..volevo sapere se questa dimostrazione dell'unicità della fattorizzazione degli interi positivi >=2 poteva essere corretta (una volta dimostrata ovviamente l'esistenza della fattorizzazione per ogni naturale).

Supponiamo

[math]a=p_1\cdot p_2\cdot ... \cdot p_n=q_1\cdot q_2\cdot ... \cdot q_m[/math]

e procediamo induttivamente.

Per a=2 la definizione di primo ci assicura che la sua unica fattorizzazione è quella costituita dallo stesso 2.

Supponiamo ora che la proposizione sia valida [math]\forall b

[ciampax]

E' quella, anche se un po' striminzita. Ma va bene.

[aleio1]

grazie ciampax..ma cosa manca?

[ciampax]

Devi spiegare meglio il modo in cui usi l'induzione. Se ho tempo ti scrivo la dimostrazione che avevo fatto io al corso di algebra.

[aleio1]

uso l'induzione su a..
a=2 vera
suppongo la proposizione vera per ogni naturale b

[ciampax]

Scrivo anche il testo del teorema, così come lo enuncio io:

Per ogni

[math]n\in\mathbb{N},\ n>1[/math]

esistono elementi irriducibili distinti

[math]p_1,\ldots,p_s[/math]

tutti positivi, con

[math]s\geq 1[/math]

numero naturale, tali che

[math]n=p_1^{h_1}\cdots p_s^{h_s},[/math]

con

[math]h_j>0,\ j=1,\ldots,s[/math]

.
Inoltre se

[math]n=q_1^{k_1}\cdots q_t^{k_t}[/math]

(

[math]q_i>1[/math]

irriducibile,

[math]t\geq 1,\ k_i>0[/math]

) allora

[math]t=s[/math]

e gli elementi irriducibili sono uguali a meno di un riordinamento.

Dimostrazione: Indichiamo con

[math]\mathcal{P}(n)[/math]

la precedente proposizione. La dimostreremo per induzione su

[math]n[/math]

1) Esistenza:
Base dell'induzione

[math]n=2[/math]

In tal caso la fattorizzazione è immediata e si prende

[math]s=1,\ p_1=2,\ h_1=1[/math]

Passo induttivo Supponiamo

[math]\mathcal{P}(k)[/math]

vera per ogni

[math]2\leq k< n[/math]

. Possiamo avere due casi:
i)

[math]n[/math]

è irriducibile: la fattorizzazione si ottiene immediatamente ponendo

[math]s=1,\ p_1=n,\ h_1=1[/math]

;

ii)

[math]n=ab[/math]

(non irriducibile) con [math]2\leq a

[aleio1]

grazie mille..ne farò buon uso:)