Fattorizzazione sconosciuta

[bestiedda]

mi è capitato di imbattermi, nella soluzione di alcuni esercizi, in una scomposizione di polinomi mai vista prima:

$x^n + 1 = (x+1)(x^{n-1} - x^{n-2} + x^{n-3} ..... - x + 1)$

ora, facendo il prodotto da, ma da dove è uscita?? sul mio libro non c'è..

[Benny24]

E' incompleta, semmai

$x^n + 1 = (x+1)*(x^{n-1} - x^{n-2} + x^{n-3} ..... - x + 1)$

prendi da esempio la scomposizione di $x^3+1$ (infatti n deve essere dispari).

[adaBTTLS1]

manca il fattore (x+1). la scomposizione di (x^n +1) si può fare in quel modo se n è dispari. cerca in: somme e differenze di potenze di ugual esponente. puoi eseguire la divisione, anche con Ruffini: $(x^n+1):-(x+1)$ ed otterrai quel quoziente scritto da te e resto zero...

[adaBTTLS1]

scusa ho qualche problema con le formule:
$(x^n+1)$ dividilo, con Ruffini, per (x+1), ed otterrai quoziene uguale a quel polinomio che tu hai scritto, e resto zero.

[bestiedda]

si scusate ho scritto male il primo messaggio! quindi il fattore $x^{n-1}-x^{n-2}....$ eccetera eccetera è irriducibile?!?

[Sk_Anonymous]

Dipende da n, a volte è irriducibile come nel caso in cui $n=3$ o $n=5$, altre è riducibile come nel caso $n=9$
$x^9+1=(x+1)*(x^8-x^7+x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1)=(x+1)*(x^2-x+1)*(x^6-x^3+1)$