Fascio di rette proprio.
Ciao a tutti, sto studiando i fasci propri di rette ma ci sono due punti che non mi sono chiari e spero che abbiate la pazienza di leggere l'estratto del testo per aiutarmi a capire.
Riporto in corsivo il testo ed evidenzio i punti non chiari:
Siano $r $ $s$ due rette diverse passanti per il punto $C(x_0;y_0)$:
$r: ax+by+c=0$
$s: a_1x+b_1y+c_1=0$
L'equazione:
1) $lambda( ax+by+c)+mu(a_1x+b_1y+c_1)=0$
dove $lambda$ e $mu$ sono parametri reali non contemporaneamente nulli, si dice combinazione lineare delle due rette $r $ e $s$ a coefficienti $lambda$ e $mu$.
1 può essere riscritta nella forma:
2) $(lambdaa+mua_1)x+(lambdab+mub_1)y+lambdac+muc_1$
che è, per ogni coppia di valori $lambda$ e $mu$, l'equazione di una retta, essendo lineare in $x$ e $y$ e avendo i coefficienti
$(lambdaa+mua_1)$ e $(lambdab+mub_1)$ non contemporaneamente nulli, poichè le due rette $r $ e $s$ sono non parallele.
Poichè la 1 è soddisfatta dalle coordinate $C(x_0;y_0)$, qualunque siano $lambda$ e $mu$, essa rappresenta, al variare di $lambda$ e $mu$, le rette del piano passanti per $C$.
Tenendo conto che $r $ e $s$ sono non parallele e considerando il determinante dei coefficienti di $x$ e $y$, si avrà:
$ab_1-a_1bne0$
quindi il sistema:
${(lambdaa+mua_1=A),(lambdab+mub_1=B):}$
nelle incognite $lambda$ e $mu$ ha soluzione qualunque siano $A$ e $B$.
Pertanto l'equazione 1 consente di rappresentare rette passanti per $C$ e di qualunque direzione, ossia rappresenta, al variare di $lambda$ e $mu$, tutte le rette passanti per $C$ .
-----------------------
Per quanto riguarda il primo punto, se le rette fossero parallele allora i coefficienti potrebbero essere nulli? Come? Ho provato a farmi degli esempi ma non sono riuscito.
Per il secondo, perchè usare proprio questo sistema?
Riporto in corsivo il testo ed evidenzio i punti non chiari:
Siano $r $ $s$ due rette diverse passanti per il punto $C(x_0;y_0)$:
$r: ax+by+c=0$
$s: a_1x+b_1y+c_1=0$
L'equazione:
1) $lambda( ax+by+c)+mu(a_1x+b_1y+c_1)=0$
dove $lambda$ e $mu$ sono parametri reali non contemporaneamente nulli, si dice combinazione lineare delle due rette $r $ e $s$ a coefficienti $lambda$ e $mu$.
1 può essere riscritta nella forma:
2) $(lambdaa+mua_1)x+(lambdab+mub_1)y+lambdac+muc_1$
che è, per ogni coppia di valori $lambda$ e $mu$, l'equazione di una retta, essendo lineare in $x$ e $y$ e avendo i coefficienti
$(lambdaa+mua_1)$ e $(lambdab+mub_1)$ non contemporaneamente nulli, poichè le due rette $r $ e $s$ sono non parallele.
Poichè la 1 è soddisfatta dalle coordinate $C(x_0;y_0)$, qualunque siano $lambda$ e $mu$, essa rappresenta, al variare di $lambda$ e $mu$, le rette del piano passanti per $C$.
Tenendo conto che $r $ e $s$ sono non parallele e considerando il determinante dei coefficienti di $x$ e $y$, si avrà:
$ab_1-a_1bne0$
quindi il sistema:
${(lambdaa+mua_1=A),(lambdab+mub_1=B):}$
nelle incognite $lambda$ e $mu$ ha soluzione qualunque siano $A$ e $B$.
Pertanto l'equazione 1 consente di rappresentare rette passanti per $C$ e di qualunque direzione, ossia rappresenta, al variare di $lambda$ e $mu$, tutte le rette passanti per $C$ .
-----------------------
Per quanto riguarda il primo punto, se le rette fossero parallele allora i coefficienti potrebbero essere nulli? Come? Ho provato a farmi degli esempi ma non sono riuscito.
Per il secondo, perchè usare proprio questo sistema?
Risposte
1) Se le rette fossero parallele distinte non potrebbero passare entrambe per C. Con i coefficienti entrambi nulli otterresti tutto il piano, non solo il fascio.
2) Sì
Quando hai indicato il punto 2 c’è un errore, manca $=0$
2) Sì
Quando hai indicato il punto 2 c’è un errore, manca $=0$
Un altro modo per dire che le due rette non sono parallele è che i coefficienti delle due rette non possono stare simultaneamente in una situazione per cui $a=ka_1, b=kb_1$
Nel testo hanno preferito dirti che esiste un punto di incidenza.
Se invece si verificasse la situazione suddetta, allora le rette sarebbero parallele e il fascio si dice improprio.
Edit: ho escluso la casistica che possano essere la medesima retta.
Nel testo hanno preferito dirti che esiste un punto di incidenza.
Se invece si verificasse la situazione suddetta, allora le rette sarebbero parallele e il fascio si dice improprio.
Edit: ho escluso la casistica che possano essere la medesima retta.
"@melia":
Se le rette fossero parallele distinte non potrebbero passare entrambe per C
È chiaro, ma ancora non capisco il nesso: dal testo mi pare di capire che i coefficienti non sono nulli in quanto le rette non sono parallele, dunque con rette parallele ottengo coefficienti nulli?
"Stillife":
... i coefficienti non sono nulli
L'equazione cartesiana (nel piano)
[tex]ax+by+c=0[/tex]
rappresenta una retta sse almeno uno tra [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] è non nullo; se fosse [tex]a=b=0[/tex] l'equazione diventerebbe
[tex]c=0[/tex]
che rappresenta o l'insieme vuoto (se [tex]c\ne0[/tex]) o tutto il piano (se [tex]c=0[/tex]).
Quindi puoi considerare da te i casi con [tex]a=a_1=0,a=b_1=0,b=a_1=0,b=b_1=0[/tex] e vedere quali sono compatibili con l'ipotesi che le rette siano incidenti.
"Stillife":
È chiaro, ma ancora non capisco il nesso: dal testo mi pare di capire che i coefficienti non sono nulli in quanto le rette non sono parallele, dunque con rette parallele ottengo coefficienti nulli?
Se le rette sono parallele i coefficienti possono annullarsi contemporaneamente
Oltre alle osservazioni di @melia e @413, un altro modo per vedere la cosa è usando il mio suggerimento.
Se sostituisci nella 2) , ovvero imponendo che le due rette siano parallele (ma non coincidenti), ottieni un fascio di rette parallele:
$(lambdak+mu)(a_1x+b_1y)+(lambdac+muc_1)=0$ con $k!=0$
Se $lambda=mu=0$ l'equazione è soddisfatta quindi è una soluzione compatibile col fatto che tutte le rette siano parallele.
Se $c=kc_1$ allora $(lambdak+mu)(a_1x+b_1y+c_1)=0$ con $k!=0$.
Per qualsiasi valori dei parametri abbiamo che la retta è unica (degenere per $lambdak+mu=0$)
Quindi il testo è corretto (perchè parla di un punto di intersezione) ma andrebbe specificato che può accadere che escludendo il caso $lambda=mu=0$ possa comunque darsi che il tutto sia composto da un'unica retta...e non solo da rette parallele. Il tutto dipende dai coefficienti delle due rette.
Se sostituisci nella 2) , ovvero imponendo che le due rette siano parallele (ma non coincidenti), ottieni un fascio di rette parallele:
$(lambdak+mu)(a_1x+b_1y)+(lambdac+muc_1)=0$ con $k!=0$
Se $lambda=mu=0$ l'equazione è soddisfatta quindi è una soluzione compatibile col fatto che tutte le rette siano parallele.
Se $c=kc_1$ allora $(lambdak+mu)(a_1x+b_1y+c_1)=0$ con $k!=0$.
Per qualsiasi valori dei parametri abbiamo che la retta è unica (degenere per $lambdak+mu=0$)
Quindi il testo è corretto (perchè parla di un punto di intersezione) ma andrebbe specificato che può accadere che escludendo il caso $lambda=mu=0$ possa comunque darsi che il tutto sia composto da un'unica retta...e non solo da rette parallele. Il tutto dipende dai coefficienti delle due rette.
Io consigliavo di considerare dei casi particolari per farsi un'idea geometrica della situazione prima di aggredire il caso generale; i quattro casi che ho scritto non esauriscono le possibilità che annullano i due coefficienti, sono solo i casi più semplici.
Per [tex]\lambda=\mu=0[/tex] l'equazione del fascio è identicamente soddisfatta, quindi questo caso va escluso (l'equazione del fascio non rappresenta una retta): [tex]\lambda[/tex] e [tex]\mu[/tex] non possono essere entrambi nulli. Quando invece uno fra [tex]\lambda,\mu[/tex] è nullo e l'altro no, si ottengono le due rette generatrici del fascio.
Il passo successivo è...
[ot]Che libro è, per curiosità?[/ot]
"Bokonon":
Se $lambda=mu=0$ l'equazione è soddisfatta quindi è una soluzione compatibile col fatto che tutte le rette siano parallele.
Per [tex]\lambda=\mu=0[/tex] l'equazione del fascio è identicamente soddisfatta, quindi questo caso va escluso (l'equazione del fascio non rappresenta una retta): [tex]\lambda[/tex] e [tex]\mu[/tex] non possono essere entrambi nulli. Quando invece uno fra [tex]\lambda,\mu[/tex] è nullo e l'altro no, si ottengono le due rette generatrici del fascio.
Il passo successivo è...
[ot]Che libro è, per curiosità?[/ot]
Grazie a tutti per gli interventi. Ancora non ho letto attentamente e (al momento) sono più confuso di prima 
, questa sera ci rifletto su.
@413
Lamberti Mereu Nanni, Nuovo lezioni di matematica A
, questa sera ci rifletto su.@413
Lamberti Mereu Nanni, Nuovo lezioni di matematica A
Ah! Io avevo il loro Lezioni di Matematica quando andavo al liceo. Peccato che non sia più in produzione... ora la scelta è tra le 50 sfumature di Sasso 
(e le sue imitazioni)
(e le sue imitazioni)
"413":
Per [tex]\lambda=\mu=0[/tex] l'equazione del fascio è identicamente soddisfatta, quindi questo caso va escluso (l'equazione del fascio non rappresenta una retta): [tex]\lambda[/tex] e [tex]\mu[/tex] non possono essere entrambi nulli.
Questo contradirrebbe il tutto.
Il ragionamento che ho fatto è diverso dalla classica equazione.
Ho volutamente inserito due fasci di rette parallele a posteriori. Quindi le soluzioni per valori di X e Y sono escluse (comunque ci sono sempre rette parallele in $RR^2$ anche per due fasci propri e quelle non ci interessano) perchè la sostituzione che ho effettuato impone che siano due fasci di rette parallele. Quindi la soluzione banale è unica per eliminare i termini noti.
Era un ragionamento involuto ma mi pare corretto.
Ancora non vedo ciò che c'è da vedere.
Se per esempio sostituisco la 2 con il caso $a=a_1=0$ ottengo $(lamdab+mub_1)y+lambdac+muc_1=0$ che è una retta parallela all'asse x, sostituendo con gli altri casi ottengo in ogni caso una retta (e i coefficienti non sono contemporaneamente nulli). Forse non è così che vanno considerati i casi che proponi?
Insomma, come si annullano contemporaneamente questi coefficienti se le rette sono parallele?
"413":
...quindi puoi considerare da te i casi...
Se per esempio sostituisco la 2 con il caso $a=a_1=0$ ottengo $(lamdab+mub_1)y+lambdac+muc_1=0$ che è una retta parallela all'asse x, sostituendo con gli altri casi ottengo in ogni caso una retta (e i coefficienti non sono contemporaneamente nulli). Forse non è così che vanno considerati i casi che proponi?
Insomma, come si annullano contemporaneamente questi coefficienti se le rette sono parallele?
è, per ogni coppia di valori [tex]\lambda[/tex] e [tex]\mu[/tex], l'equazione di una retta,
Se prendi [tex]a=a_1=0[/tex] ottieni
[tex]\begin{align}
a_{\lambda,\mu}&:=\lambda a+\mu a_1=0,\\
b_{\lambda,\mu}&:=\lambda b+\mu b_1\label{b}
\end{align}[/tex]
a_{\lambda,\mu}&:=\lambda a+\mu a_1=0,\\
b_{\lambda,\mu}&:=\lambda b+\mu b_1\label{b}
\end{align}[/tex]
riesci a trovare almeno una coppia di [tex]\lambda,\mu[/tex] che non sia [tex]\lambda=\mu=0[/tex] per cui la[tex]~\ref{b}[/tex] si annulla?
Cosa succede invece per [tex]a=b_1=0[/tex]?
Consideriamo il caso generale. Assumiamo i due coefficienti [tex]a_{\lambda,\mu},b_{\lambda,\mu}[/tex] entrambi nulli
[tex]\begin{cases}\lambda a+\mu a_1=0\\
\lambda b+\mu b_1=0
\end{cases}[/tex]
\lambda b+\mu b_1=0
\end{cases}[/tex]
questo è un sistema lineare omogeneo nelle incognite [tex]\lambda,\mu[/tex], quindi ammette sempre almeno una soluzione: [tex]\lambda=\mu=0[/tex]. Se
[tex]\begin{vmatrix}a&a_1\\b&b_1\end{vmatrix}\ne0[/tex]
allora il sistema è determinato ed ammette esattamente una soluzione, [tex]\lambda=\mu=0[/tex].
Se invece
[tex]\begin{vmatrix}a&a_1\\b&b_1\end{vmatrix}=0[/tex]
allora il sistema ammette infinite soluzioni; in questo caso, tuttavia, le rette generatrici del fascio sono parallele (vedi paragrafo sulla condizione di parallelismo fra rette), e passano per lo stesso punto, quindi sono coincidenti, contrariamente all'ipotesi che le due generatrici siano distinte. Pertanto, nelle nostre ipotesi, l'unica soluzione al sistema è [tex]\lambda=\mu=0[/tex], che non è però ammissibile. Quindi i coefficienti [tex]a_{\lambda,\mu},b_{\lambda,\mu}[/tex] non sono mai contemporaneamente nulli per qualunque scelta di [tex]\lambda,\mu[/tex] non entrambi nulli.
"413":
...riesci a trovare almeno una coppia...
Direi $lambda=-b_1^^mu=b$; inoltre così abbiamo che le rette sono $by+c=0$ e $b_1y+c_1=0$ che sono due rette parallele in quanto entrambe parallele all'asse x...fianlmente!
Adesso capisco perchè per il caso generale dicevi di discutere il sistema:
${(lambdaa+mua_1=0),(lambdab+mub_1=0):}$
A questo punto vorrei chiederti di pazientare ancora per poco.
Il sistema:
${(lambdaa+mua_1=A),(lambdab+mub_1=B):}$
che appare nel testo è equivalente al tuo solo che in questo caso però non si può verificare che $A=0^^B=0$, giusto?
Inoltre, se considero il caso $a=b_1=0$ ottengo:
${(mua_1=0),(lambdab=0):}$
che ha soluzioni per $lambda=0^^mu=0$ (escludo che $a_1=0vvb=0$ poichè non avrei due rette in partenza), ma non è accettabile perchè, per ipotesi, non posso avere $lambda$ $mu$ entrambi nulli, è corretto?
Ok. Quindi abbiamo stabilito che per ogni [tex]\lambda,\mu[/tex], con [tex]\lambda,\mu[/tex] non entrambi nulli, l'equazione
rappresenta sicuramente una retta del fascio di punto base [tex](x_0,y_0)[/tex]. Ora ci chiediamo se le rappresenta tutte, ovvero: la retta di equazione cartesiana
passante per [tex](x_0,y_0)[/tex] ([tex]C=-Ax_0-By_0[/tex] per [tex]A,B[/tex] fissati) è rappresentata da[tex]~\ref{eq}[/tex]?
Equivalentemente, vogliamo determinare se esistono [tex]\lambda,\mu[/tex] tali che [tex]a_{\lambda,\mu}=A,b_{\lambda,\mu}=B[/tex] per [tex]A,B[/tex] fissati, ovvero se il sistema lineare non omogeneo nelle incognite [tex]\lambda,\mu[/tex]
ammette almeno una soluzione. Il sistema considerato in precedenza
è il suo sistema omogeneo associato, e abbiamo stabilito che nelle nostre ipotesi
pertanto dal teorema di Cramer, segue che il sistema
ammette esattamente una soluzione; quindi la risposta è sì: al variare di [tex]\lambda,\mu[/tex], non entrambi nulli, l'equazione[tex]~\ref{eq}[/tex] rappresenta tutte e sole le rette passanti per il punto [tex](x_0,y_0)[/tex].
Per esercizio puoi provare a sostituire le soluzioni che determini col metodo di Cramer in [tex]\lambda c+\mu c_1[/tex] dopo aver determinato [tex]c,c_1[/tex] dalla condizione di passaggio delle rette generatrici per [tex](x_0,y_0)[/tex] e verificare che ottieni [tex]C=-Ax_0-By_0[/tex] .
[tex]\begin{align}
\lambda(ax+by+c)+\mu(a_1x+b_1y+c_1)=0\label{eq}\end{align}[/tex]
\lambda(ax+by+c)+\mu(a_1x+b_1y+c_1)=0\label{eq}\end{align}[/tex]
rappresenta sicuramente una retta del fascio di punto base [tex](x_0,y_0)[/tex]. Ora ci chiediamo se le rappresenta tutte, ovvero: la retta di equazione cartesiana
[tex]Ax+By+C=0[/tex]
passante per [tex](x_0,y_0)[/tex] ([tex]C=-Ax_0-By_0[/tex] per [tex]A,B[/tex] fissati) è rappresentata da[tex]~\ref{eq}[/tex]?
Equivalentemente, vogliamo determinare se esistono [tex]\lambda,\mu[/tex] tali che [tex]a_{\lambda,\mu}=A,b_{\lambda,\mu}=B[/tex] per [tex]A,B[/tex] fissati, ovvero se il sistema lineare non omogeneo nelle incognite [tex]\lambda,\mu[/tex]
[tex]\begin{cases}
\lambda a+\mu a_1=A\\
\lambda b+\mu b_1=B
\end{cases}[/tex]
\lambda a+\mu a_1=A\\
\lambda b+\mu b_1=B
\end{cases}[/tex]
ammette almeno una soluzione. Il sistema considerato in precedenza
[tex]\begin{cases}
\lambda a+\mu a_1=0\\
\lambda b+\mu b_1=0
\end{cases}[/tex]
\lambda a+\mu a_1=0\\
\lambda b+\mu b_1=0
\end{cases}[/tex]
è il suo sistema omogeneo associato, e abbiamo stabilito che nelle nostre ipotesi
[tex]\begin{vmatrix}a&a_1\\b&b_1\end{vmatrix}\ne0[/tex]
pertanto dal teorema di Cramer, segue che il sistema
[tex]\begin{cases}
\lambda a+\mu a_1=A\\
\lambda b+\mu b_1=B
\end{cases}[/tex]
\lambda a+\mu a_1=A\\
\lambda b+\mu b_1=B
\end{cases}[/tex]
ammette esattamente una soluzione; quindi la risposta è sì: al variare di [tex]\lambda,\mu[/tex], non entrambi nulli, l'equazione[tex]~\ref{eq}[/tex] rappresenta tutte e sole le rette passanti per il punto [tex](x_0,y_0)[/tex].
Per esercizio puoi provare a sostituire le soluzioni che determini col metodo di Cramer in [tex]\lambda c+\mu c_1[/tex] dopo aver determinato [tex]c,c_1[/tex] dalla condizione di passaggio delle rette generatrici per [tex](x_0,y_0)[/tex] e verificare che ottieni [tex]C=-Ax_0-By_0[/tex] .
@ 413
Grazie per le spiegazioni.
Per concludere, dunque, ciò che è scritto nel testo e che era all'origine del mio dubbio ovvero "...non contemporaneamente nulli poichè le due rette non sono parallele." significa che, considerato il sistema:
${(lambdaa+mua_1=0),(lambdab+mub_1=0):}$
non si può verificare che $ab_1-a_1b=0$ in quanto, per le nostre ipotesi, le rette non sarebbero diverse ma parallele (coincidenti); a questo punto possiamo solo considerare il caso $ab_1-a_1bne0$ la cui unica soluzione $lambda=0 ^^ mu=0$ non è accettabile e dunque i coefficienti $(lambdaa+mua_1)$ e $(lambdab+mub_1)$ non si annullano mai contemporaneamente.
Grazie per le spiegazioni.
Per concludere, dunque, ciò che è scritto nel testo e che era all'origine del mio dubbio ovvero "...non contemporaneamente nulli poichè le due rette non sono parallele." significa che, considerato il sistema:
${(lambdaa+mua_1=0),(lambdab+mub_1=0):}$
non si può verificare che $ab_1-a_1b=0$ in quanto, per le nostre ipotesi, le rette non sarebbero diverse ma parallele (coincidenti); a questo punto possiamo solo considerare il caso $ab_1-a_1bne0$ la cui unica soluzione $lambda=0 ^^ mu=0$ non è accettabile e dunque i coefficienti $(lambdaa+mua_1)$ e $(lambdab+mub_1)$ non si annullano mai contemporaneamente.
Mi pare corretto 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo