Fascio di rette per l'origine

[Seeker111]

Ragazzi, sono nuovo del forum, vorrei chiedervi una cosa riguardo un problema di geometria.

Ho i fasci di rette y=kx+k e y=(k-1)x+2

e devo trovare quali sono le rette che si intersecano nell'asse delle ascisse, come faccio?

[elli2]

Il primo fascio ha centro nel punto C1(-1,0) che appartiene all'asse delle ascisse. Perciò considero la retta del secondo fascio passante per questo punto e trovo k = 3 . le rette dei due fasci che si intersecano nell'asse x sono quindi y = 3x + 3 e y = 2x + 2.

[francescodd1]

ponendo a sistema i due fasci (dato che si devono intersecare) ottieni: x=2-k
poni a sistema: x=2-k e uno dei 2 fasci uguale a 0

otterai k=0 e k=3

sostituisci k e ottieni le rette

[natalezios]

"Seeker111":Ragazzi, sono nuovo del forum, vorrei chiedervi una cosa riguardo un problema di geometria.

Ho i fasci di rette y=kx+k e y=(k-1)x+2

e devo trovare quali sono le rette che si intersecano nell'asse delle ascisse, come faccio?

risposta :

é semplice
sai che le rette si intersecano sull'asse delle ascisse e perciò le due rette si incontrano in un punto con P(0,?)
perciò metti a sistema le equazioni delle due rette con l'equazione x=0; e otterrai ke y=k e y=2 di conseguenza k=2
e perciò le equazioni sono y=2x+2 e y=x+2

[adaBTTLS1]

... l'equazione dell'asse x è y=0 .... (non x=0) OK? ciao.

[Seeker111]

quindi basta fare un sistema così?

y=kx+k
y=(k-1)x+2
y=0

giusto?

non riesco mai a capire quando e cosa mettere a sistema...

[adaBTTLS1]

francescodd ti ha risposto.
forse però hai bisogno di qualche passaggio in più per arrivare alla soluzione.
un sistema come quello che hai scritto va bene: a cosa ti porta? a x=2-k e a k=0 oppure a k=3.... ma ragioniamo con calma.

y=kx+k
y=0

-> k(x+1)=0 -> k=0 oppure x=-1

se k=0 la prima retta è y=0 (asse x) e la seconda è y=-x+2

se x=-1 da y=0 e y=(k-1)(-1)+2 segue -k+1+2=0, cioè k=3

con k=3 le due equazioni sono:
y=3x+3
y=2x+2
che effettivamente si incontrano in x=-1, y=0

è chiaro? ciao.

[Seeker111]

ok, l'esercizio mi è venuto, però non riesco a capire perchè mettere a sistema le equazioni, ad esempio ora però ho un'altro problema che non riesco ad affrontare, mi viene data l'equazione (1+k)x+2y-k+3=0, devo verificare che passa per P(1;-2) e quindi che sia un fascio proprio per P, e poi devo trovare quella passante per A(0;1). In questo caso devo mettere a sistema l'equzione (1+k)x+2y-k+3=0 con x=1 e y=-2?

[adaBTTLS1]

sì, se sostituisci x=1 e y=-2 dovresti ottenenere un'identità, e quindi vuol dire che per ogni k la retta passa per P.
se invece sostituisci x=0 e y=1, ottieni un'equazione in k (io ho ottenuto k=5, ma non ti fidare...)

con un metodo più tradizionale potresti partire da $y-y_0=m(x-x_0)$ .... ma la strada mi sembra abbastanza tortuosa... ciao.

[Steven11]

mi viene data l'equazione (1+k)x+2y-k+3=0, devo verificare che passa per P(1;-2)

Basta sostituire le coordinate del punto $P$ nel fascio, e notare che ottieni un'identità.
Infatti il $k$ va via, e rimane $0=0$.
Questo significa che per qualsiasi $k$ il fascio passa per quel punto.

In questo caso devo mettere a sistema l'equzione (1+k)x+2y-k+3=0 con x=1 e y=-2?

Quale caso? La prima, o la seconda domanda?
Comunque per la seconda i valori che devi sostituire nel fascio questa volta sono
$x=0$ e $y=1$ ma ora non ottieni un identità, ma un'equazione da risolvere rispetto a $k$,
ovvero
$(1+k)*0+2*(1)-k+3=0$

Fidati di Ada che fa la modesta, $k=5$

[natalezios]

si hai ragione l'equazione dell'asse x è y=0

scusami

ciao
ciao