Fascio di rette

[pequena]

avente la rette del fascio 5x+3y-15+k(x-2y+10) determina
a) le caratteristiche del fascio
b)le rette del fascio perpendicolare alla rette passante per i punti A(1;8 ) B(5;4)

mi aiutate a risolvere questo problema?

[xico87]

a) nn capisco cosa vuoi sapere
b)

[math] \frac{8-4}{1-5} = \frac{y-4}{x-5} \\ -1(x-5) = y-4 \\ y = 9-x \ \ (m = -1)[/math]

le rette perpendicolari alla precedente hanno coefficiente angolare

[math] m_1 = -\frac{1}{m} = 1 [/math]

[math] 5x+3y-15+k(x-2y+10) = \\ 5x + 3y - 15 + kx - 2ky + 10k = \\ x(5 + k) + 3y - 15 - 2ky + 10k = y(3-2k)-15+10k+x(5 + k)=0[/math]

quindi

[math] y = \frac {x(5 + k) - 15 + 10k}{-3+2k} [/math]

il coefficiente della x deve essere = 1, quindi

[math]\frac{5+k}{-3+2k}= 1 [/math]

risolvendo qsta equazione trovi k, che poi sostituisci nell'equazione del fascio

[IPPLALA]

Xico, credo che voglia sapere se quel fascio è un fascio proprio o improprio...

[math]5x+3y-15+k=0[/math]

[pequena]

il punto a) penso voglia sapere come dice ipplala se il fascio è proprio o improprio
però scusa ma non ho capito cosa hai fatto!! il resto dell'eq. perche non l'hai riscritta.
cmq grazie xico

scrivo altri 2 problemi che non ho capito aiutatemi

dato le rette del fascio x+2y-3+k(2x+4y+5) determina
a) le caratteristiche del fascio
b) le rette che formano con gli assi un triangolo di area 16

date le rette del fascio 4x-y+2+k(x-2y-3) determina
a) le caratteristiche del fascio
b) la retta che dista radice di 2 dal punto Q(-1;0)

[plum]

per il primo problema:
5x+3y-15+k(x-2y+10)=0
5x+3y-15+kx-2ky+10k=0
(3-2k)y+(5+k)x+(10k-15)=0

[math]y=-\frac{5+k}{3-2k}x-\frac{10k-15}{3-2k}[/math]

ho svolto (come fra l'altro aveva già fatto xico) il fascio e ho esplicitato la y; visto che il coefficente angolare (m) contiene il parametro k, il fascio di rette è proprio, cioè ogni retta del fascio passa per il punto di sostegno del fascio O(0,5).
ipplala, invece di scrivere 5x+3y-15+k(x-2y+10)=0 hai scritto solo 5x+3y-15+k=0

[xico87]

pequena, credo che tu nn abbia ben chiara l'idea del fascio di rette. forse fra gli appunti trovi qlche spiegazione, cmq detta in 2 parole esistono 2 tipi di fascio:
-fascio improprio (rette parallele)
-fascio proprio (insieme di tutte le rette passanti per un determinato punto, con coefficiente angolare diverso.. immagina una raggiera)

fascio improprio:
se le rette sono tutte parallele ad una retta data, ovviamente l'unica cosa che cambia è l'intercetta : se cambiasse il coefficiente angolare nn avresti + 2 rette parallele, quindi l'equazione di un fascio di rette // è y = mx + k, con m costante e k parametro che può variare

fascio proprio:
è generato da 2 rette con diverso coeff angolare:

[math] ax + by + c = 0 \ \ a_1x + b_1y + c_1 = 0 [/math]

queste si intersecano in un punto P (x0, y0), visto che NON sono parallele. questo induce a pensare che se le combino linearmente, ottengo un fascio di rette nn parallele e passanti per lo stesso punto P (x0, y0):

[math] l(ax + by + c) + l_1(a_1x + b_1y + c_1) = 0 [/math]

se all'interno ci sostituisco (x0, y0), questa deve necessariamente essere un'equazione soddisfatta, qualunque siano i valori

[math]l[/math]

e

[math]l_1[/math]

(provare per credere)

[pequena]

ok la teoria è chiara
ditemi se sbaglio: nel secondo problema il fascio è improprio nel terzo il fascio è proprio giusto?
cmq vi ringrazio ma i punti b) del secondo e terzo problema come si risolvono

[plum]

si, giusto
per il secondo problema, se intercetta l'asse x, vuol dire che la y=0 ---> x-3+2kx+5k=0 --->

x(1+2k)=3-5k --->

[math]x=\frac{3-5k}{1+2k}[/math]

se intercetta l'asse y, allora x=0 --->

[math]y=\frac{3-5k}{4k+2}[/math]

visto che l'area deve essere 16, poni x*y/2=16 ---> x*y=16 (dove

[math]x=\frac{3-5k}{1+2k}[/math]

e

[math]y=\frac{3-5k}{4k+2}[/math]

)

[pequena]

facendo così però non viene

[plum]

che soluzioni dovrebbero venire?

[pequena]

x+2y-8=0 e x+2y+8=0

[plum]

infatti viene k=-1 (---> x+2y+8=0) oppure k=-5/21 (---> x+2y-8=0)
probabilmente hai sbagliato i conti...

[pequena]

hai ragione plum mi sono confusa un pò con i segni adesso mi è venuto
grazie davvero
io domani purtroppo ho il compito di matemetica non potete aiutarmi a risolvere il terzo problema
vi prego

[plum]

date le rette del fascio 4x-y+2+k(x-2y-3) determina
b) la retta che dista radice di 2 dal punto Q(-1;0)
espliciti il fascio:
4x-y+2+kx-2ky-3k=0
e lo "riordini":
(-2k-1)y+(k+4)x+(2-3k)
ora devi usare la formula della distanza retta-punto:

[math]\frac{|(-2k-1)*0+(k+4)*(-1)+(2-3k)|}{\sqrt{(-2k-1)^2+(k+4)^2}}=2[/math]

[math]\frac{|-k-4+2-3k|}{\sqrt{4k^2+4k+1+k^2+8k+16}}=2[/math]

[math]|-4k-2|=2*\sqrt{5k^2+12k+17}[/math]

[math]16k^2+16k+4=20k^2+48k+68[/math]

[math]4k^2+32k+64[/math]

[math]k_1=k_2=4[/math]

[pequena]

ok grazie di tutto
bacetti

[Mario]

chiudo