Fascio di circonferenze. Tangenza con asse x

[rosva1]

Nel fascio di circonferenze passanti per i punti A(-2;2) e B(4;2) determina la circonferenza tangente all'asse x!

Facendo i calcoli, il fascio di rette passanti per i punti mi viene:

x^2+y^2-2x-4y-4+k(y-2)=0

poi però non riesco a trovare la circonferenza tangente all'asse x, cioè ad y=0

Ringrazio anticipatamente

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Innanzitutto consideriamo la circonferenza del fascio di diametro

[math]AB[/math]

.
Essa ha centro in

[math]C =\left(\frac{x_a + x_b}{2}, \; \frac{y_a + y_b}{2}\right) = (1, \; 2) [/math]

e raggio pari a

[math]R = \frac{\overline{AB}}{2} = \frac{\sqrt{(- 2 - 4)^2 + (2 - 2)^2}}{2} = 3[/math]

. Quindi la propria equazione
cartesiana è

[math](x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 3^2[/math]

in cui sviluppando i prodotti
e sommando i monomi simili porge

[math]x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0\\[/math]

.

Ora determiniamo l'equazione dell'asse radicale

[math]AB[/math]

(ossia di quella
retta che interseca in

[math]A[/math]

e in

[math]B[/math]

tutte le circonferenze del fascio) che
risulta essere :

[math]y - 2 = 0\\[/math]

.

Non rimane che combinarle linearmente tramite

[math]k \in \mathbb{R}[/math]

ottenendo l'equazione
cartesiana del fascio di circonferenze:

[math]\small x^2 + y^2 - 2x + (k - 4)y - 2(k + 2) = 0\\[/math]

.

Dopo qualche manipolazione si riesce a riscriverlo nella forma:

[math](x - 1)^2 + \left(y - \frac{4 - k}{2}\right)^2 = \frac{k^2 + 36}{4}[/math]

. Ebbene, per selezio-
nare tra quelle infinite circonferenze l'unica tangente con l'asse
delle ascisse è sufficiente imporre che la distanza del centro di
tale fascio dall'asse x sia pari al proprio raggio. In matematichese:

[math]\left|\frac{4-k}{2}\right| = \sqrt{\frac{k^2 + 36}{4}}[/math]

, equazione verificata per

[math]k = -\frac{5}{2}[/math]

.
Dunque, la circonferenza in esame ha equazione cartesiana:

[math](x - 1)^2 + \left(y - \frac{13}{4}\right)^2 = \left(\frac{13}{4}\right)^2\\[/math]

.

Spero sia sufficientemente chiaro. ;)