Fascio di circonferenze
si consideri il fascio determinato dalle due circonferenze
x^2+y^2-2x+2y-8=0 x^2+y^2-4x-2y=0
trovare l'equazione della circonferenza del fascio
a)che interseca gli assi di riferimento in punti che determinano un quadrilatero la cui area misura 70
{x^2+y^2+2x+10y-24=0 x^2+y^2-15x-24y+44=0}
b)che stacca sulla retta x-y-4=0 una corda di misura 5 radical 2
{x^2+y^2-8x-10y+16=0 3x^2+3y^2-4x+10y-32}
vi ringrazio in anticipo....
x^2+y^2-2x+2y-8=0 x^2+y^2-4x-2y=0
trovare l'equazione della circonferenza del fascio
a)che interseca gli assi di riferimento in punti che determinano un quadrilatero la cui area misura 70
{x^2+y^2+2x+10y-24=0 x^2+y^2-15x-24y+44=0}
b)che stacca sulla retta x-y-4=0 una corda di misura 5 radical 2
{x^2+y^2-8x-10y+16=0 3x^2+3y^2-4x+10y-32}
vi ringrazio in anticipo....
Risposte
se i calcoli cn laboriosi ,è sufficiente anche il solo procedimento...vi ringrazio...
L'equazione di una circonferenza generica del fascio si ottiene combinando linearmente le due equazioni di partenza:
$F : x^2+y^2-2x+2y-8+k(x^2+y^2-4x-2y)=0 -> F : x^2+y^2-(2x(1+2k))/(1+k)+(2y(1-k))/(1+k)-8/(1+k)=0$ (con $k!=-1$)
Punto A
Intersezioni con gli assi (in funzione di k), mettendo a sistema l'equazione di F con $y=0$ e $x=0$:
asse x: $A(4;0)$ e $C(-2/(k+1);0)$
asse y: $B(0;2)$ e $D(0;-4/(k+1))$
Le misure delle diagonali del quadrilatero ABCD (che giacciono sugli assi coordinati) sono:
$AC=│4+2/(k+1)│$ e $BD=│2+4/(k+1)│$
La misura dell'area è: $S=1/2AC*BD=(2│2k^2+9k+9│)/(k+1)^2$
Imponendo $S=70 -> k=-13/11$ o $k=-2/3$ che forniscono l'equazione delle circonferenze richieste.
Punto B
Si procede analogamente: interseca F con l'equazione della retta, ottenendo due punti in funzione di k. Dopo imponi che la distanza tra questi due punti sia $5sqrt2$ e il gioco è fatto.
$F : x^2+y^2-2x+2y-8+k(x^2+y^2-4x-2y)=0 -> F : x^2+y^2-(2x(1+2k))/(1+k)+(2y(1-k))/(1+k)-8/(1+k)=0$ (con $k!=-1$)
Punto A
Intersezioni con gli assi (in funzione di k), mettendo a sistema l'equazione di F con $y=0$ e $x=0$:
asse x: $A(4;0)$ e $C(-2/(k+1);0)$
asse y: $B(0;2)$ e $D(0;-4/(k+1))$
Le misure delle diagonali del quadrilatero ABCD (che giacciono sugli assi coordinati) sono:
$AC=│4+2/(k+1)│$ e $BD=│2+4/(k+1)│$
La misura dell'area è: $S=1/2AC*BD=(2│2k^2+9k+9│)/(k+1)^2$
Imponendo $S=70 -> k=-13/11$ o $k=-2/3$ che forniscono l'equazione delle circonferenze richieste.
Punto B
Si procede analogamente: interseca F con l'equazione della retta, ottenendo due punti in funzione di k. Dopo imponi che la distanza tra questi due punti sia $5sqrt2$ e il gioco è fatto.
Per semplificare i calcoli e' forse preferibile prendere come circonferenze
basi del fascio la seconda circonferenza e l'asse radicale ( la cui equazione,
com'e' noto,si ottiene come differenza delle equazioni delle due ciiconferenze date).
Tale asse e' dunque x+2y-4=0 e pertanto l'equazione del fascio si puo' scrivere cosi':
$x^2+y^2-4x-2y+k(x+2y-4)=0$ ovvero
$x^2+y^2+(k-4)x+2(k-1)y-4k=0$
Da qui si puo' proseguire come gia' detto ,ottenendo pero' espressioni piu' semplici.
karl
basi del fascio la seconda circonferenza e l'asse radicale ( la cui equazione,
com'e' noto,si ottiene come differenza delle equazioni delle due ciiconferenze date).
Tale asse e' dunque x+2y-4=0 e pertanto l'equazione del fascio si puo' scrivere cosi':
$x^2+y^2-4x-2y+k(x+2y-4)=0$ ovvero
$x^2+y^2+(k-4)x+2(k-1)y-4k=0$
Da qui si puo' proseguire come gia' detto ,ottenendo pero' espressioni piu' semplici.
karl
"elvis":
L'equazione di una circonferenza generica del fascio si ottiene combinando linearmente le due equazioni di partenza:
$F : x^2+y^2-2x+2y-8+k(x^2+y^2-4x-2y)=0 -> F : x^2+y^2-(2x(1+2k))/(1+k)+(2y(1-k))/(1+k)-8/(1+k)=0$ (con $k!=-1$)
Punto A
Intersezioni con gli assi (in funzione di k), mettendo a sistema l'equazione di F con $y=0$ e $x=0$:
asse x: $A(4;0)$ e $C(-2/(k+1);0)$
asse y: $B(0;2)$ e $D(0;-4/(k+1))$
Le misure delle diagonali del quadrilatero ABCD (che giacciono sugli assi coordinati) sono:
$AC=│4+2/(k+1)│$ e $BD=│2+4/(k+1)│$
La misura dell'area è: $S=1/2AC*BD=(2│2k^2+9k+9│)/(k+1)^2$
Imponendo $S=70 -> k=-13/11$ o $k=-2/3$ che forniscono l'equazione delle circonferenze richieste.
Punto B
Si procede analogamente: interseca F con l'equazione della retta, ottenendo due punti in funzione di k. Dopo imponi che la distanza tra questi due punti sia $5sqrt2$ e il gioco è fatto.
chiari quanto precisi ed esaurienti..vi ringrazio..l'unica cosa che nn ho capito è da dove hai ricavato quella formula dell'area di un quadrilatero...nn l'ho mai studiata...grazie in anticipo
forse l'hai scomposto in due triangoli??
Le diagonali, poichè giacciono sugli assi coordinati , sono perpendicolari tra loro. Per tanto l'area è uguale al semiprodotto delle diagonali.
grazie c sono arrivata.Grazie ancora per la disponibilità...
grazie c sono arrivata.Grazie ancora per la disponibilità...
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