Fascio di circonferenze
Sottopongo al vostro attento vaglio questo esercizio:
"Nel fascio di circonferenze di equazione x^2+y^2-2kx+(1-k)y+2=0, determinare l'equazionedell'asse radicale, le coordinate dei punti base e l'equazione della retta dei centri. Dai risultati ottenutiche cosa si può dedurre?"
"Nel fascio di circonferenze di equazione x^2+y^2-2kx+(1-k)y+2=0, determinare l'equazionedell'asse radicale, le coordinate dei punti base e l'equazione della retta dei centri. Dai risultati ottenutiche cosa si può dedurre?"
Risposte
x^2+y^2-2kx+(1-k)y+2=0
Affiché questa equazione rappresenti un fascio di circonferenze, bisogna
che si verifichi la seguente condizione: il raggio deve sempre essere maggiore
di zero, altrimenti le circonferenze degenerano in un punto.
Le coordinate del centro sono C(k;(k-1)/2)
Perciò avremo: sqrt[k² + (k²-2k+1)/4 - 2] > 0
Risolvendo questa disequazione si ottiene k < -1 V k > 7/5
Diamo 2 valori arbitrari al parametro k che soddisfino le condizioni poste.
Per esempio, per k=-2 si ottiene: x²+y²+4x+3y+2=0
Per k=2 si ottiene: x²+y²-4x-y+2=0
Mettendo a sistema le circonferenze trovate si ha:
{x²+y²+4x+3y+2=0
{x²+y²-4x-y+2=0
Sottraendo membro a membro le due equazioni si ottiene l'asse radicale:
8x+4y=0
y=-2x
Per i punti base, basta fare un sistema tra l'asse radicale e ciascuna delle due
circonferenze:
{y=-2x
{x²+y²+4x+3y+2=0
x²+4x²+4x-6x+2=0
5x²-2x+2=0
x=[1+-sqrt(1-10)]/5 ==> non esistono punti base.
È quindi inutile mettere a sistema l'asse radicale anche con l'altra circonferenza.
Troviamo i centri delle due circonferenze:
Il centro di x²+y²+4x+3y+2=0 è: C1(-2;-3/2)
Il centro di x²+y²-4x-y+2=0 è: C2(2;1/2)
L'equazione della retta passante per essi è allora:
(x+2)/4 = (y+3/2)/(1/2+3/2)
(x+2)/4 = (y+3/2)/2
x+2 = 2•(y+3/2)
x+2 = 2y+3
x-2y-1=0
Affiché questa equazione rappresenti un fascio di circonferenze, bisogna
che si verifichi la seguente condizione: il raggio deve sempre essere maggiore
di zero, altrimenti le circonferenze degenerano in un punto.
Le coordinate del centro sono C(k;(k-1)/2)
Perciò avremo: sqrt[k² + (k²-2k+1)/4 - 2] > 0
Risolvendo questa disequazione si ottiene k < -1 V k > 7/5
Diamo 2 valori arbitrari al parametro k che soddisfino le condizioni poste.
Per esempio, per k=-2 si ottiene: x²+y²+4x+3y+2=0
Per k=2 si ottiene: x²+y²-4x-y+2=0
Mettendo a sistema le circonferenze trovate si ha:
{x²+y²+4x+3y+2=0
{x²+y²-4x-y+2=0
Sottraendo membro a membro le due equazioni si ottiene l'asse radicale:
8x+4y=0
y=-2x
Per i punti base, basta fare un sistema tra l'asse radicale e ciascuna delle due
circonferenze:
{y=-2x
{x²+y²+4x+3y+2=0
x²+4x²+4x-6x+2=0
5x²-2x+2=0
x=[1+-sqrt(1-10)]/5 ==> non esistono punti base.
È quindi inutile mettere a sistema l'asse radicale anche con l'altra circonferenza.
Troviamo i centri delle due circonferenze:
Il centro di x²+y²+4x+3y+2=0 è: C1(-2;-3/2)
Il centro di x²+y²-4x-y+2=0 è: C2(2;1/2)
L'equazione della retta passante per essi è allora:
(x+2)/4 = (y+3/2)/(1/2+3/2)
(x+2)/4 = (y+3/2)/2
x+2 = 2•(y+3/2)
x+2 = 2y+3
x-2y-1=0
Grazie della velocità con cui ha rispoto.
Volevo fare due osservazioni:
_l'asse radicale dovrebbe essere la retta che congiunge i punti/o base, se non ci sono l'asse radicale non dovrebbe aver ragione di esistere( su questo il mio testo è lacunoso);
_l'asse radicale è la circonferenza degenere facente parte del fascio e si ottiene dall'equazione del fascio per k=-1 (molto probabilmente mi sbaglio).
Volevo fare due osservazioni:
_l'asse radicale dovrebbe essere la retta che congiunge i punti/o base, se non ci sono l'asse radicale non dovrebbe aver ragione di esistere( su questo il mio testo è lacunoso);
_l'asse radicale è la circonferenza degenere facente parte del fascio e si ottiene dall'equazione del fascio per k=-1 (molto probabilmente mi sbaglio).
Il modo + rapido (quando è possibile applicarlo) per trovare l'asse radicale è raccogliere il parametro k. Ciò che moltiplica il parametro è l'asse radicale:
x^2+y^2-2kx+(1-k)y+2=0
x^2 + y^2 + y + 2 + k* (-2x-y) = 0
Il termine che moltiplica k è -2x-y, basta uguagliarlo a 0:
-2x-y=0
y=-2x
x^2+y^2-2kx+(1-k)y+2=0
x^2 + y^2 + y + 2 + k* (-2x-y) = 0
Il termine che moltiplica k è -2x-y, basta uguagliarlo a 0:
-2x-y=0
y=-2x
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