Fasci di parabole...necessito di aiuto...
Vorrei sapere come cominciare a fare questo esercizio e i passaggi da svolgere...
Sia dato il fascio di parabole di equazione
y= (1+m) x^2 + (1-2m)x + m-6 (m diverso da -1)
a) Provare che tutte le parabole passano per uno stesso punto A.
b) Trovare il luogo descritto dal vertice della generica parabola del fascio al varirare di m e dire di che curva si tratta
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Sia dato il fascio di parabole di equazione
y= (1+m) x^2 + (1-2m)x + m-6 (m diverso da -1)
a) Provare che tutte le parabole passano per uno stesso punto A.
b) Trovare il luogo descritto dal vertice della generica parabola del fascio al varirare di m e dire di che curva si tratta
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Risposte
Sia dato il fascio di parabole di equazione
$y= (1+m) x^2 + (1-2m)x + m-6$ $(m !=-1)$
a) Provare che tutte le parabole passano per uno stesso punto A.
Basta esplicitare la $m$ nell'equazione e imporre che tale equazione sia indeterminata:
$m(x^2-2x+1)+x^2+x-6-y=0$, l'equazione risulta indeterminata se $x^2-2x+1=0$ e $x^2+x-6-y=0$. Risolvendo si ottiene $(1;-4)$, infatti il punto trovato è soluzione dell'equazione indipendentemente dal valore assunto da $m$.
b) Trovare il luogo descritto dal vertice della generica parabola del fascio al varirare di m e dire di che curva si tratta
trova le coordinate del vertice in funzione di $m$, esplicita $m$ dall'equazione in x e sostituiscila in quella in y, dovrebbe venire un'iperbole equilatera.
$y= (1+m) x^2 + (1-2m)x + m-6$ $(m !=-1)$
a) Provare che tutte le parabole passano per uno stesso punto A.
Basta esplicitare la $m$ nell'equazione e imporre che tale equazione sia indeterminata:
$m(x^2-2x+1)+x^2+x-6-y=0$, l'equazione risulta indeterminata se $x^2-2x+1=0$ e $x^2+x-6-y=0$. Risolvendo si ottiene $(1;-4)$, infatti il punto trovato è soluzione dell'equazione indipendentemente dal valore assunto da $m$.
b) Trovare il luogo descritto dal vertice della generica parabola del fascio al varirare di m e dire di che curva si tratta
trova le coordinate del vertice in funzione di $m$, esplicita $m$ dall'equazione in x e sostituiscila in quella in y, dovrebbe venire un'iperbole equilatera.
Grazie, ora l'esercizio mi è riuscito...
Per la cronaca si tratta di un fascio di parabole tangenti nel punto $(1;-4)$ alla retta
che si ottiene mettendo il valore $m=-1$ nell'equazione del fascio, ovvero:
$y = 3x-7$
che si ottiene mettendo il valore $m=-1$ nell'equazione del fascio, ovvero:
$y = 3x-7$
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