[EX] - Trovare la funzione

[axpgn]

Nel grafico sottostante è mostrata una funzione pari $f(x)=(p(x))/(q(x))$ dove $p(x)$ e $q(x)$ sono due polinomi razionali di secondo grado. Fornire le possibili espressioni di $p(x)$ e $q(x)$.



Precedenza agli studenti e ... spoilerare

Cordialmente, Alex

[kobeilprofeta]

Scrivo $p(x)=a'x^2+b'x+c'$ e $q(x)=ax^2+bx+c$.
Credo che:
-$a'=2a$
-$c'=0$
-$a'+b'=a+b <=> 2a+b'=a+b <=> b'=-a+b$

per il momento basta, dunque:
$f(x)=frac{2ax^2+(b-a)x}{ax^2+bx+c}$

[axpgn]

@kobe

Le prime due possono passare, anzi vanno bene (anche se la prima l'avrei fatta/scritta in modo diverso perché ... lo spiegherò ... ), ma la terza non l'ho capita e comunque non mi pare vada bene ...
Prosegui ...

Cordialmente, Alex

[kobeilprofeta]

...forse avrei dovuto dire
$a'+b'=a+b+c$?

[axpgn]

@kobe

Non comprendo cosa vuoi dire ma comunque non mi pare la strada giusta ...

Ah, dimenticavo ... sarebbe utile (per gli eventuali lettori ... ) che mettessi il motivo per cui sei arrivato a tali affermazioni (o il percorso fatto)

Cordialmente, Alex

[kobeilprofeta]

Ho guardato quanto vale la funzione in x=1

[axpgn]

@kobe

Eh, ma è un po' presto per quello ... ... e poi mancava la $c$ ... (che hai aggiunto correttamente poi)
Peraltro il mio invito era più generale, mi riferivo anche agli altri punti; se spieghi come ci sei arrivato sei utile a tutti gli interessati (ammesso che ce ne siano )

Cordialmente, Alex

[kobeilprofeta]

Spiegazione dei tre punti

Chiamo $f(x)=frac{p(x)}{q(x)}=frac{a'x^2+b'x+c'}{ax^2+bx+c}$.
1) Il limite per $x to +infty$ del rapporto tra due polinomi dello stesso grado coincide con il rapporto dei coefficienti di grado massimo. In questo caso il limite è 2 (y=2 as orizz) e dunque $frac{a'}{a}=2 => a'=2a$.
2) Guardo quanto vale la funzione in x=0, vale 0. Quindi $frac{a'*0+b'*0+c'}{a*0+b*0+c}=0 => c=0$.
3) Guardo quanto vale la funzione in x=1, vale 1. Quindi $frac{a'*1+b'*1+c'}{a*1+b*1+c}=frac{2a+b'}{a+b+c}=1$ quindi $2a+b'=a+b+c => b'=-a+b+c$

La f è dunque $f(x)=frac{2ax^2+(-a+b+c)*x}{ax^2+bx+c}$.

[mazzarri1]

@Kobe

Ho notato un altro paio di condizioni da applicare... vedi se il mio aiuto ti porta da qualche parte... attento che nell'origine hai un minimo e che, forse, la funzione potrebbe essere pari

ciao a tutti!

[donald_zeka]

L a funzione è $y=(2x^2)/(x^2+1)$

Infatti se assumiamo che sia pari i termini $b$ e $b'$ si annullano, inoltre imponendo il passaggio per $(1,1)$ risulta $c=a$, $a$ risulta presente al denominatore e al numeratore e quindi si può semplificare portando alla suddetta.

[mazzarri1]

@Vulplasir... non vale... dovevi spoilerare!!!

[donald_zeka]

Ooops scordato , rimedio.

[axpgn]

Va beh, visto che andata così ... posto la mia versione ...

1) dal grafico si presuppone che la funzione sia definita su tutto $RR$ e quindi il denominatore sarà sempre diverso da zero.
2) possiamo ipotizzare che la nostra funzione abbia questo formato $f(x)=(a'x^2+b'x+c')/(ax^2+bx+c)$ come detto da kobe
3) essendo un rapporto avremo infinite "frazioni" equivalenti ma proprio per questo possiamo ipotizzare che $a=1$ senza perdere di generalità e quindi $f(x)=(a'x^2+b'x+c')/(x^2+bx+c)$
4) dato che è $f(0)=0$ abbiamo che $(c')/c=0$ da cui $c!=0$ e $c'=0$ e quindi $f(x)=(a'x^2+b'x)/(x^2+bx+c)$
5) la nostra funzione è pari e perciò ha un solo zero per cui anche $b'=0$ da cui $f(x)=(a'x^2)/(x^2+bx+c)$
6) essendo il numeratore una funzione simmetrica affinché la funzione sia pari deve essere simmetrico anche il denominatore perciò anche $b=0$ e quindi $f(x)=(a'x^2)/(x^2+c)$
7) Dato che $lim_(x->+infty) f(x)=2$ ed anche $lim_(x->+infty) f(x)=(a'x^2)/(x^2+c)=a'$ allora sarà $a'=2$ da cui $(2x^2)/(x^2+c)$

ed infine ...

8) dal grafico abbiamo che $f(1)=1$ e sostituendo abbiamo $f(1)=2/(1+c)=1\ =>\ 2=1+c\ =>\ c=1$ e in conclusione $f(x)(2x^2)/(x^2+1)$

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Altro esercizio ...

Trovare un polinomio di grado $100$ che si annulli solo nei punti $x=-2$, $x=1$ e $x=pi$ e non sia negativo.

Cordialmente, Alex

[Camillo]

$y= (x+2)^30*(x-1)^30*(x-pi)^40 $

[axpgn]

Ma tu non sei più uno studente!!! ... o sì?

Cordialmente, Alex

[Camillo]

Non sono più uno studente da... parecchio, ma ho trovato stimolante l'esercizio.