Estremo superiore e inferiore

Aletzunny1
Buonasera, qualcuno può aiutarmi a capire quando all'interno di un insieme(A) esiste l'estremo superiore di $A$ e l'estremo inferiore di $A$ e come si "trovano" all'interno di un sistema.

Non ho ben capito perché non può esistere l'estremo superiore di $A$ ad esempio nel caso dell'insieme
$A={r∈Q|0<=r ^^ r^(2)<=2}$

Grazie

Risposte
axpgn
Scusa una domanda: ma da dove viene quella notazione (e quella dei tuoi post precedenti)?
Io non la capisco per niente, ma è un problema mio che probabilmente ne conosco troppo poche …

Aletzunny1
"axpgn":
Scusa una domanda: ma da dove viene quella notazione (e quella dei tuoi post precedenti)?
Io non la capisco per niente, ma è un problema mio che probabilmente ne conosco troppo poche …


Qui avevo sbagliato a mettere i segni per farle evidenziare in azzurro... scusami

axpgn
Cos'è un maggiorante (e un minorante) ? E qual è la definizione di estremo superiore?
Quali sono i maggioranti dell'insieme $A$?

Aletzunny1
"axpgn":
Cos'è un maggiorante (e un minorante) ? E qual è la definizione di estremo superiore?
Quali sono i maggioranti dell'insieme $A$?


Allora onestamente dalla definizione ho capito ben poco...
Usando gli esempi ho capito di più però su alcuni esempi...come appunto questo non capisco

axpgn
Scrivi la definizione di maggiorante che hai e prova ad applicarla all'insieme $A$

Aletzunny1
Ad esempio di $A={1/(n)}={1,1/(2)...1/(n)}$ ho capito che gli $M$(maggioranti) sono tutti i numeri $>1$ e $1$ anche estremo superiore e massimo.

I minoranti $m$ sono i numeri $<1/(n)$ ma non capisco perché $0$ sia il più piccolo dei minoranti... mentre non è il minimo perché non appartiene ad $A$

Aletzunny1
"axpgn":
Scrivi la definizione di maggiorante che hai e prova ad applicarla all'insieme $A$


Per un maggiorante deve essere che $x>r$ per ogni r appartenente a $A$..

axpgn
Non ti ho chiesto degli esempi ma la definizione; se questa non ti è chiara o non l'hai compresa a fondo è normale che poi tu sia in difficoltà negli esercizi, non puoi risolverli "a sensazione" ...

EDIT: quella non è una definizione, su ...

Aletzunny1
"axpgn":
Non ti ho chiesto degli esempi ma la definizione; se questa non ti è chiara o non l'hai compresa a fondo è normale che poi tu sia in difficoltà negli esercizi, non puoi risolverli "a sensazione" ...


La definizione di maggiorante che ho è questa

$x$ è un maggiorante dell'insieme $A$ se $x>a$ per ogni $a$

$y$ è un minorante di $A$ se $y Per ogni $a$

$z$ è l'estremo superiore se è un maggiorante di $A$ e se $a

Aletzunny1
"axpgn":
Non ti ho chiesto degli esempi ma la definizione; se questa non ti è chiara o non l'hai compresa a fondo è normale che poi tu sia in difficoltà negli esercizi, non puoi risolverli "a sensazione" ...

EDIT: quella non è una definizione, su ...


L'altro esempio è stato fatto in classe e non mi trovo nel capire perché $0$ sia il più grande dei minoranti...

Le definizioni che ho scritto sotto sono pari pari dagli appunti presi giusti in classe

axpgn
Manca il segno di "uguale" in quella definizione (e poi andrebbe definito a quale insieme appartengono gli $x$)
Adesso prova ad applicarlo all'insieme $A$ prima assumendo che gli $x$ siano razionali e poi che siano numeri reali.

EDIT: le definizioni devi prenderle dai libri non dagli appunti ...

Aletzunny1
"axpgn":
Manca il segno di "uguale" in quella definizione (e poi andrebbe definito a quale insieme appartengono gli $x$)
Adesso prova ad applicarlo all'insieme $A$ prima assumendo che gli $x$ siano razionali e poi che siano numeri reali.

EDIT: le definizioni devi prenderle dai libri non dagli appunti ...


Bhe ma se un professore definisce a una classe queste denifinizioni spero sappia di cosa parli..

Annessa alla spiegazione vi era l'esercizio con $A={1/(n)$ che mi pareva di aver capito meglio dell'esercizio di compito che ho chiesto tranne il motivo dello zero... potresti aiutarmi a capirlo? Perché anche dalla definizione non ne vengo a una

axpgn
Per favore non modificare i messaggi dopo averli scritti perché non ho detto che le modifiche vengano lette.

Quella non è la definizione di estremo superiore ... rileggi le definizioni sui libri.

axpgn
"Aletzunny":
Bhe ma se un professore definisce a una classe queste denifinizioni spero sappia di cosa parli..

Probabilmente lui sì (si spera) ma non è detto che gli appunti rispecchino esattamente quello che ha detto, anzi ... i libri esistono anche per questo :wink:

Aletzunny1
"axpgn":
[quote="Aletzunny"]Bhe ma se un professore definisce a una classe queste denifinizioni spero sappia di cosa parli..

Probabilmente lui sì (si spera) ma non è detto che gli appunti rispecchino esattamente quello che ha detto, anzi ... i libri esistono anche per questo :wink:[/quote]

Può essere...ma in tutto questo perché $A={1/(n)}$ ha come minorante più grande $0$...come devo ragionare?

axpgn
Io sto cercando di fartelo capire ma tu vuoi andare per la tua strada ...
Riprendi l'esercizio iniziale con quell'insieme $A$ e prova ad applicare la definizione (corretta di maggiorante) ovvero quali sono i numeri maggiori (o uguali) a TUTTI gli elementi di $A$ ?
Per esempio $5$ è un maggiorante? Il numero $1$ è un maggiorante? Il numero $sqrt(2)$ è un maggiorante? Il numero $sqrt(3)$ è un maggiorante? Prova ...

Aletzunny1
Solo $1$ non è maggiormente giusto?

axpgn
"Maggiorante" …

Sì, perché? Se lo hai detto ci sarà un motivo, no?

Aletzunny1
"axpgn":
"Maggiorante" …

Sì, perché? Se lo hai detto ci sarà un motivo, no?


Si perché devono essere tutti i numeri che elevati al quadrato sono maggiori o uguali a $2$

axpgn
Bene.

Adesso passiamo all'estremo superiore che non è altro che il minimo dei maggioranti …

Quindi qual è il minimo dei maggioranti dell'insieme $A$ ?

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