Estremo superiore e inferiore

[Aletzunny1]

Buonasera, qualcuno può aiutarmi a capire quando all'interno di un insieme(A) esiste l'estremo superiore di $A$ e l'estremo inferiore di $A$ e come si "trovano" all'interno di un sistema.

Non ho ben capito perché non può esistere l'estremo superiore di $A$ ad esempio nel caso dell'insieme
$A={r∈Q|0<=r ^^ r^(2)<=2}$

Grazie

[axpgn]

Scusa una domanda: ma da dove viene quella notazione (e quella dei tuoi post precedenti)?
Io non la capisco per niente, ma è un problema mio che probabilmente ne conosco troppo poche …

[Aletzunny1]

"axpgn":Scusa una domanda: ma da dove viene quella notazione (e quella dei tuoi post precedenti)?
Io non la capisco per niente, ma è un problema mio che probabilmente ne conosco troppo poche …

Qui avevo sbagliato a mettere i segni per farle evidenziare in azzurro... scusami

[axpgn]

Cos'è un maggiorante (e un minorante) ? E qual è la definizione di estremo superiore?
Quali sono i maggioranti dell'insieme $A$?

[Aletzunny1]

"axpgn":Cos'è un maggiorante (e un minorante) ? E qual è la definizione di estremo superiore?
Quali sono i maggioranti dell'insieme $A$?

Allora onestamente dalla definizione ho capito ben poco...
Usando gli esempi ho capito di più però su alcuni esempi...come appunto questo non capisco

[axpgn]

Scrivi la definizione di maggiorante che hai e prova ad applicarla all'insieme $A$

[Aletzunny1]

Ad esempio di $A={1/(n)}={1,1/(2)...1/(n)}$ ho capito che gli $M$(maggioranti) sono tutti i numeri $>1$ e $1$ anche estremo superiore e massimo.

I minoranti $m$ sono i numeri $<1/(n)$ ma non capisco perché $0$ sia il più piccolo dei minoranti... mentre non è il minimo perché non appartiene ad $A$

[Aletzunny1]

"axpgn":Scrivi la definizione di maggiorante che hai e prova ad applicarla all'insieme $A$

Per un maggiorante deve essere che $x>r$ per ogni r appartenente a $A$..

[axpgn]

Non ti ho chiesto degli esempi ma la definizione; se questa non ti è chiara o non l'hai compresa a fondo è normale che poi tu sia in difficoltà negli esercizi, non puoi risolverli "a sensazione" ...

EDIT: quella non è una definizione, su ...

[Aletzunny1]

"axpgn":Non ti ho chiesto degli esempi ma la definizione; se questa non ti è chiara o non l'hai compresa a fondo è normale che poi tu sia in difficoltà negli esercizi, non puoi risolverli "a sensazione" ...

La definizione di maggiorante che ho è questa

$x$ è un maggiorante dell'insieme $A$ se $x>a$ per ogni $a$

$y$ è un minorante di $A$ se $y Per ogni $a$

$z$ è l'estremo superiore se è un maggiorante di $A$ e se $a

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[Aletzunny1]

"axpgn":Non ti ho chiesto degli esempi ma la definizione; se questa non ti è chiara o non l'hai compresa a fondo è normale che poi tu sia in difficoltà negli esercizi, non puoi risolverli "a sensazione" ...

EDIT: quella non è una definizione, su ...

L'altro esempio è stato fatto in classe e non mi trovo nel capire perché $0$ sia il più grande dei minoranti...

Le definizioni che ho scritto sotto sono pari pari dagli appunti presi giusti in classe

[axpgn]

Manca il segno di "uguale" in quella definizione (e poi andrebbe definito a quale insieme appartengono gli $x$)
Adesso prova ad applicarlo all'insieme $A$ prima assumendo che gli $x$ siano razionali e poi che siano numeri reali.

EDIT: le definizioni devi prenderle dai libri non dagli appunti ...

[Aletzunny1]

"axpgn":Manca il segno di "uguale" in quella definizione (e poi andrebbe definito a quale insieme appartengono gli $x$)
Adesso prova ad applicarlo all'insieme $A$ prima assumendo che gli $x$ siano razionali e poi che siano numeri reali.

EDIT: le definizioni devi prenderle dai libri non dagli appunti ...

Bhe ma se un professore definisce a una classe queste denifinizioni spero sappia di cosa parli..

Annessa alla spiegazione vi era l'esercizio con $A={1/(n)$ che mi pareva di aver capito meglio dell'esercizio di compito che ho chiesto tranne il motivo dello zero... potresti aiutarmi a capirlo? Perché anche dalla definizione non ne vengo a una

[axpgn]

Per favore non modificare i messaggi dopo averli scritti perché non ho detto che le modifiche vengano lette.

Quella non è la definizione di estremo superiore ... rileggi le definizioni sui libri.

[axpgn]

"Aletzunny":Bhe ma se un professore definisce a una classe queste denifinizioni spero sappia di cosa parli..

Probabilmente lui sì (si spera) ma non è detto che gli appunti rispecchino esattamente quello che ha detto, anzi ... i libri esistono anche per questo

[Aletzunny1]

"axpgn":[quote="Aletzunny"]Bhe ma se un professore definisce a una classe queste denifinizioni spero sappia di cosa parli..

Probabilmente lui sì (si spera) ma non è detto che gli appunti rispecchino esattamente quello che ha detto, anzi ... i libri esistono anche per questo [/quote]

Può essere...ma in tutto questo perché $A={1/(n)}$ ha come minorante più grande $0$...come devo ragionare?

[axpgn]

Io sto cercando di fartelo capire ma tu vuoi andare per la tua strada ...
Riprendi l'esercizio iniziale con quell'insieme $A$ e prova ad applicare la definizione (corretta di maggiorante) ovvero quali sono i numeri maggiori (o uguali) a TUTTI gli elementi di $A$ ?
Per esempio $5$ è un maggiorante? Il numero $1$ è un maggiorante? Il numero $sqrt(2)$ è un maggiorante? Il numero $sqrt(3)$ è un maggiorante? Prova ...

[Aletzunny1]

Solo $1$ non è maggiormente giusto?

[axpgn]

"Maggiorante" …

Sì, perché? Se lo hai detto ci sarà un motivo, no?

[Aletzunny1]

"axpgn":"Maggiorante" …

Sì, perché? Se lo hai detto ci sarà un motivo, no?

Si perché devono essere tutti i numeri che elevati al quadrato sono maggiori o uguali a $2$

[axpgn]

Bene.

Adesso passiamo all'estremo superiore che non è altro che il minimo dei maggioranti …

Quindi qual è il minimo dei maggioranti dell'insieme $A$ ?