Esercizio vero/falso su infinitesimi e infiniti
Buongiorno, avrei bisogno che qualcuno mi controlli questo esercizio perchè secondo le soluzioni date dal libro non mi torna il numero rispettivo di vero/falso...
a) $ f(x) = x^3 $ è un infinito di ordine superiore a $ g(x) = sqrt(x) $ per $ x -> + oo $ VERO (oltre al fatto che si vede graficamente il primo ha ordine 3 e il secondo ha ordine 1/2)
b) $ f(x) = x^100 $ è un infinito di ordine superiore a $ g(x) = e^x $ per $ x -> + oo $ FALSO (per la gerarchia degli infiniti)
c) $ f(x) = root(3) x $ è un infinito di ordine inferiore a $ g(x) = lnx $ per $ x -> + oo $ VERO (infatti ho verificato che $ lim_(x -> + oo)(root(3)x)/(ln x) = 0 $ nel seguente modo: $ lim_(x -> + oo)(x-1)/ln((x-1)+1)*root(3)x/(x-1) = lim_(x-> + oo)(x-1)/ln((x-1)+1)*1/(root(3)(x^2)*(1-1/x)) = 1*0 = 0 $
d) $ f(x) = sqrt(x) $ è un infinitesimo di ordine inferiore a $ g(x) = sinx $ per $ x-> 0 $ VERO (anche qui ho verificato che $ lim_(x-> 0)sqrt(x)/sinx = oo $ )
e) $ f(x) = sinx $ è un infinitesimo dello stesso ordine di $ g(x) = e^x - 1 $ per $ x -> 0 $ VERO (ho verificato che $ lim_(x-> 0) sinx/(e^x-1) = l, != 0 $ con i limiti notevoli)
f) $ f(x) = 1 - cosx $ é un infinitesimo di ordine superiore a $ g(x) = sinx $ per $ x-> 0 $ VERO (ho verificato che $ lim_(x-> 0)(1-cosx)/sinx = 0 $ )
a) $ f(x) = x^3 $ è un infinito di ordine superiore a $ g(x) = sqrt(x) $ per $ x -> + oo $ VERO (oltre al fatto che si vede graficamente il primo ha ordine 3 e il secondo ha ordine 1/2)
b) $ f(x) = x^100 $ è un infinito di ordine superiore a $ g(x) = e^x $ per $ x -> + oo $ FALSO (per la gerarchia degli infiniti)
c) $ f(x) = root(3) x $ è un infinito di ordine inferiore a $ g(x) = lnx $ per $ x -> + oo $ VERO (infatti ho verificato che $ lim_(x -> + oo)(root(3)x)/(ln x) = 0 $ nel seguente modo: $ lim_(x -> + oo)(x-1)/ln((x-1)+1)*root(3)x/(x-1) = lim_(x-> + oo)(x-1)/ln((x-1)+1)*1/(root(3)(x^2)*(1-1/x)) = 1*0 = 0 $
d) $ f(x) = sqrt(x) $ è un infinitesimo di ordine inferiore a $ g(x) = sinx $ per $ x-> 0 $ VERO (anche qui ho verificato che $ lim_(x-> 0)sqrt(x)/sinx = oo $ )
e) $ f(x) = sinx $ è un infinitesimo dello stesso ordine di $ g(x) = e^x - 1 $ per $ x -> 0 $ VERO (ho verificato che $ lim_(x-> 0) sinx/(e^x-1) = l, != 0 $ con i limiti notevoli)
f) $ f(x) = 1 - cosx $ é un infinitesimo di ordine superiore a $ g(x) = sinx $ per $ x-> 0 $ VERO (ho verificato che $ lim_(x-> 0)(1-cosx)/sinx = 0 $ )
Risposte
A parte un paio di errori di battitura,
a) credo che $g(x)$ sia $g(x)=sqrtx$
d) $x->0$ e non a $+oo$
il caso sbagliato è c) per lo stesso motivo di b), basta infatti porre $lnx=t$ e con la sostituzione ti riporti al caso precedente.
a) credo che $g(x)$ sia $g(x)=sqrtx$
d) $x->0$ e non a $+oo$
il caso sbagliato è c) per lo stesso motivo di b), basta infatti porre $lnx=t$ e con la sostituzione ti riporti al caso precedente.
Grazie mille, ho corretto gli errori di battitura.
Effettivamente con la sostituzione f(x) risulta essere un infinito di ordine superiore rispetto a g(x) (se non sbaglio $ f(x) = root(3)( e^t ) $ e $ g(x) = t $ ) ma quindi i calcoli che ho fatto al punto (c) sono errati? Se sì, dove?
Ho anche usato un calcolatore online per confrontare i grafici delle due funzioni di partenza e mi ha riconfermato che è f(x) ad essere l'infinito di ordine superiore e non il contrario. La risposta è, quindi, FALSO ma perché non mi tornano i conti?
Effettivamente con la sostituzione f(x) risulta essere un infinito di ordine superiore rispetto a g(x) (se non sbaglio $ f(x) = root(3)( e^t ) $ e $ g(x) = t $ ) ma quindi i calcoli che ho fatto al punto (c) sono errati? Se sì, dove?
Ho anche usato un calcolatore online per confrontare i grafici delle due funzioni di partenza e mi ha riconfermato che è f(x) ad essere l'infinito di ordine superiore e non il contrario. La risposta è, quindi, FALSO ma perché non mi tornano i conti?
L'errore sta nel fatto che $root(3)x$ è un infinito di ordine superiore a $lnx$, per gerarchia degli infiniti, analogamente a b), come suggerisce @melia. E questo è valido per ogni $x^a : a>0$.
Nel tuo caso $a=1/3$
Nel tuo caso $a=1/3$
Hai usato a $+oo$ un limite che è un limite notevole solo per $x->0$
@Dany_95 grazie per aver risposto, avevo letto male la definizione della gerarchia degli infiniti (pensavo che valesse solo per ogni $ x^a : a > 1 $ )
@melia che errore sciocco! Grazie per avermi aiutata.
@melia che errore sciocco! Grazie per avermi aiutata.
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