[Esercizio] Un’Operazione tra Frazioni

[gugo82]

Un esercizio di Algebra per grandi e piccini.

Esercizio:

Considera l’insieme \(\mathbb{F}\) formato dalle frazioni ridotte ai minimi termini (r.m.t.) con denominatore positivo (d.p.)[nota][size=85]Quindi, ad esempio:

[*:21k5u5ix] $2/3 in mathbb(F)$ ma $6/9 , (-2)/(-3) notin mathbb(F)$,

[/*:m:21k5u5ix]
[*:21k5u5ix] $0/1 in mathbb(F)$ ma $0/6 , 0/(-2) notin mathbb(F)$,

[/*:m:21k5u5ix]
[*:21k5u5ix] $(-1)/4 in mathbb(F)$ ma $1/(-4) , (-5)/(20) notin mathbb(F)$.[/*:m:21k5u5ix][/list:u:21k5u5ix][/size][/nota]

In $mathbb(F)$ definisci l’operazione $**$ ponendo:
\[
\frac{a}{b} * \frac{c}{d} = \begin{cases} \frac{a+c}{b+d} &\text{, se questa frazione è r.m.t.d.p.} \\ \text{frazione r.m.t.d.p. equivalente a } \frac{a+c}{b+d} &\text{, se questa frazione non è r.m.t.d.p.}\end{cases}
\]
(ad esempio, $1/1**1/2 = 2/3$ e $1/2**2/1=1/1$).
Studia le proprietà algebriche di $**$; in altre parole, stabilisci se:

[list=1][*:21k5u5ix] $**$ è commutativa, ossia se $a/b ** c/d = c/d ** a/b$ per ogni $a/b , c/d in mathbb(F)$;

[/*:m:21k5u5ix]
[*:21k5u5ix] $**$ è associativa, ossia se $(a/b ** c/d) ** e/f = a/b ** ( c/d ** e/f)$ per ogni $a/b , c/d , e/f in mathbb(F)$;

[/*:m:21k5u5ix]
[*:21k5u5ix] $**$ ha l’elemento neutro in $mathbb(F)$, ossia se esiste una frazione $alpha/beta in mathbb(F)$ tale che $a/b ** alpha/beta = a/b$ e $alpha/beta ** a/b = a/b$ per ogni $a/b in mathbb(F)$;

[/*:m:21k5u5ix]
[*:21k5u5ix] (nel caso di risposta affermativa al punto precedente) ogni $a/b in mathbb(F)$ ha un opposto rispetto a $**$ in $mathbb(F)$, ossia se esiste un elemento $A/B in mathbb(F)$ tale che $a/b ** A/B = alpha/beta$ e $A/B ** a/b = alpha/beta$.[/*:m:21k5u5ix][/list:o:21k5u5ix]

[axpgn]

1) Sì

$a/b ** c/d=(a+c)/(b+d)=(c+a)/(d+b)=c/d ** a/b$

2) Sì

$(a/b**c/d)**e/f=(a+c)/(b+d)**e/f=(a+c+e)/(b+d+f)=a/b**(c+e)/(d+f)=a/b**(c/d**e/f)$

3) Esiste un elemento che permette $ a/b ** alpha/beta = a/b $ e $ alpha/beta ** a/b = a/b $ ma non è unico ed è $alpha/beta=a/b$ quindi … boh

4) Se si accetta il punto 3) così com'è allora esiste l'opposto $A/B=a/b$, difatti $a/b**A/B= (2a)/(2b) = a/b = alpha/beta$


The Mediant ?

Cordialmente, Alex

P.S.: perché non accetti $0/6$ ?

[axpgn]

No, l'ho letto con attenzione ma non ho risolto il mio dubbio … o meglio, dovrei dire che

non esiste lo elemento neutro (ma non mi piace come risposta )

A quale delle due domande ti riferisci? Sì, lo so, che $0$ e $6$ hanno divisori comuni oltre all'uno ma non mi piace questo "privilegio" accordato all'uno

Cordialmente, Alex

EDIT: Non vale cancellare i post; adesso sembra che io stia parlando da solo

[gugo82]

Hai ragione, ma stavo riscrivendo il post.

Sei abbastanza grande da sapere che è differente scrivere:
\[
\forall \frac{a}{b} \in \mathbb{F},\ \exists \frac{\alpha}{\beta} \in \mathbb{F}:\quad \frac{a}{b} * \frac{\alpha}{\beta} = \frac{a}{b}
\]
e scrivere:
\[
\exists \frac{\alpha}{\beta} \in \mathbb{F}:\quad \forall \frac{a}{b} \in \mathbb{F},\ \frac{a}{b} * \frac{\alpha}{\beta} = \frac{a}{b} \; .
\]
Per quanto riguarda $0/1$ e $0/6$, osserva che $0/6 = (0*6)/(1*6)$ quindi $0/6$ non la considero r.m.t.

[axpgn]

Ok, così è chiarissimo ma in linguaggio naturale esiste una leggera ambiguità, dipende da dove metti la virgola

Così "... esiste una frazione $ alpha/beta in mathbb(F) $ , tale che $ a/b ** alpha/beta = a/b $ e $ alpha/beta ** a/b = a/b $ per ogni $ a/b in mathbb(F) $ " è come intendi tu mentre così "... esiste una frazione $ alpha/beta in mathbb(F) $ tale che $ a/b ** alpha/beta = a/b $ e $ alpha/beta ** a/b = a/b $ , per ogni $ a/b in mathbb(F) $ " è come l'ho intesa io.

[gugo82]

In ognuno dei due casi la locuzione “per ogni” segue il “tale che”, dunque non c'è alcuna ambiguità.
E separare con una virgola “tale che” dal suo soggetto “$alpha/beta$” è un errore di ortografia.

[axpgn]

[ot]Non condivido.[/ot]

[gugo82]

[ot]Grazie, Zarathustra.
Ora però gradirei leggere una motivazione.

Ah, leggendo i miei post avrai notato che seguo quasi sempre l’ordine dei quantificatori del linguaggio formale quando scrivo. [/ot]

[axpgn]

[ot]

"gugo82":In ognuno dei due casi la locuzione “per ogni” segue il “tale che”, dunque non c'è alcuna ambiguità.

Beh, no, la virgola cambia il senso eccome (almeno secondo me, ovviamente questo è il mio punto di vista)
Messa come l'ho interpretata io, significa che il "per ogni" si riferisce a TUTTO il blocco precedente ("chiuso" dalla virgola appunto), quindi sta "davanti" come nella tua prima scrittura

"gugo82":\[ \forall \frac{a}{b} \in \mathbb{F},\ \exists \frac{\alpha}{\beta} \in \mathbb{F}:\quad \frac{a}{b} * \frac{\alpha}{\beta} = \frac{a}{b} \]

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

"gugo82":E separare con una virgola “tale che” dal suo soggetto “$ alpha/beta $” è un errore di ortografia.

Premesso che non lo ritengo un errore (dipende dal contesto, secondo me), se lo si ritiene un errore, rimangono due possibilità, che però rafforzano la mia interpretazione: o la virgola viene prima di "per ogni" (e allora vale quanto ho detto appena sopra) o non c'è nessuna virgola ma allora rimane una leggera ambiguità d'interpretazione.

IMHO

Per quanto riguarda l'ordine dei quantificatori, sinceramente non ho fatto caso (starò più attento) però se così fosse vorrebbe dire che in questo caso hai fatto un'eccezione o mi sbaglio? (Nel senso che hai messo il quantificatore "per ogni" in fondo)

Cordialmente, Alex[/ot]

[gugo82]

[ot]Rimane un mistero su cosa c’entri la virgola con l’ordine dei quantificatori… Mi pare di averti spiegato che è quello che importa. (Anche perché, in linguaggio formale, la virgola non si usa neanche.)


P.S.: Mi faresti un esempio in cui separare soggetto e verbo con una virgola non è un errore?
Al momento non me ne vengono in mente, ma sarà che non studio ortografia dalle elementari e nel frattempo qualcosa è cambiato.[/ot]

[axpgn]

[ot]

"gugo82":Rimane un mistero su cosa c’entri la virgola con l’ordine dei quantificatori… Mi pare di averti spiegato che è quello che importa. (Anche perché, in linguaggio formale, la virgola non si usa neanche.)

Appunto. Nel linguaggio formale. Ma nel linguaggio naturale, i segni di punteggiatura contano, eccome.
Io continuo a vedere in quella frase al punto 3 che il "per ogni" messo in fondo vale per tutto il blocco precedente; se fosse stato messo dopo il "tale che" sarebbe indubbiamente come dici tu ma dov'è adesso, per me si presta ad essere interpretabile.
IMHO.

"gugo82":P.S.: Mi faresti un esempio in cui separare soggetto e verbo con una virgola non è un errore?

E dove avrei fatto/scritto questo? "... se esiste una frazione [virgola] tale che ..." il verbo è "esiste", il soggetto è "frazione", non mi pare di averla messa lì in mezzo ...
Un esempio che si possa mettere una virgola prima del "tale che" è il seguente:
"Se esiste $A$, tale che [sia] $B$, allora [è] $C$"

Peraltro questo è ininfluente riguardo al punto precedente, proprio perché io interpreto quella frase nel modo che ho detto.

Sempre IMHO.

Cordialmente, Alex[/ot]

[gugo82]

[ot]Ho scritto verbo, ma non era quello che intendevo, dato che si parlava di “tale che”.

Inoltre, la tua proposta la trovo comunque scorretta.[/ot]

Ritornando IT, allora, questo elemento neutro esiste o no?

[@melia]

Dipende

Dipende se accetti o no $0/0$ come elemento di $F$.

Se lo accetti allora l'elemento neutro è $0/0$, infatti $a/b* 0/0 = (a+0)/(b+0)=a/b$, non serve dimostrare anche l'altro percorso perché l'operazione è commutativa.

Se non lo accetti, allora no, non esiste, perché dovrebbe essere lo stesso elemento per tutte le frazioni, mentre abbiamo che per ogni frazione $a/b$ l'unico altro elemento che operato con $a/b$ dà $a/b$ è lo stesso $a/b$

[gugo82]

Le frazioni di $mathbb(F)$ hanno denominatore positivo, quindi...

[adaBTTLS1]

Se ho capito bene, non mi pare che sia associativa.
Ad esempio, provando con tre frazioni, già al primo tentativo ho ottenuto risultati diversi:
$4/3**(5/2** (-2)/1) =5/4$ , mentre $(4/3**5/2)** (-2)/1 = 7/6$ .
Non so se è così, ma in ogni caso vi saluto e vi auguro Buona Pasqua!

[Indrjo Dedej]

Ragionate e parlate in linguaggio formale e evitate ambiguità nella comunicazione.

[@melia]

Non capisco di cosa stai parlando. Siamo nella sezione della scuola secondaria. Ada ha mostrato un caso in cui la proprietà associativa cade. Quindi un controesempio per la non associatività dell'operazione, che cosa vorresti?
Io ho verificato che non c'è l'elemento neutro, esattamente come lo avrei dimostrato ai miei studenti che vorrei lo leggessero.