Esercizio un po complesso di trigonometria
Dato il quadrato ABCD di lato unitario, costruisci una semicirconferenza di diametro AB esterna al quadrato. Considerato sulla semicirconferenza il punto P, con l'angolo ABP=x determina la funzione $ f(x) = (PC)^2+(PD)^2 $
Rappresenta la funzione su un periodo completo ed evidenzia la parte relativa al problema. Individua la situazione geometrica corrispondente al valore massimo della funzione.
A dir poco non ci ho capito niente come posso farlo?
Rappresenta la funzione su un periodo completo ed evidenzia la parte relativa al problema. Individua la situazione geometrica corrispondente al valore massimo della funzione.
A dir poco non ci ho capito niente come posso farlo?
Risposte
Ciao, direi che si risolve con il teorema di Carnot. Comincia a fare il disegno, poi prova a rispondere a queste domande:
* Di che tipo è il triangolo $ABP$? Perchè?
* Dato che questo triangolo è ....... possiamo applicare i vari teoremi. In particolare conosciamo $AB$ che rappresenta l'............. del triangolo e abbiamo l'angolo $x$. Quindi quanto valgono $AP$ e $PB$?
* Adesso che hai anche questi due lati, concentriamoci sul triangolo $APD$: conosci $AP$, conosci $AD$ e conosci (lo puoi ricavare immediatamente) l'angolo $PAD$, quindi il terzo lato $PD$ si calcola ad esempio con Carnot. Poi fai la stessa cosa con il triangolo $PBC$ per ricavare $PC$.
* Di che tipo è il triangolo $ABP$? Perchè?
* Dato che questo triangolo è ....... possiamo applicare i vari teoremi. In particolare conosciamo $AB$ che rappresenta l'............. del triangolo e abbiamo l'angolo $x$. Quindi quanto valgono $AP$ e $PB$?
* Adesso che hai anche questi due lati, concentriamoci sul triangolo $APD$: conosci $AP$, conosci $AD$ e conosci (lo puoi ricavare immediatamente) l'angolo $PAD$, quindi il terzo lato $PD$ si calcola ad esempio con Carnot. Poi fai la stessa cosa con il triangolo $PBC$ per ricavare $PC$.
Se è vero che non ci hai capito niente, un disegno è la prima cosa da fare:
Sappiamo che $AB=1$ e che $\hat{ABP}=x$. Dobbiamo calcolare, usando questi due dati, la somma $PC^2+PD^2$.
Solo un indizio, per farti partire: considera il triangolo $PBC$; di esso conosciamo $\hat{PBC}=x+90°$ e $BC=1$; se conoscessimo $BP$, con il teorema di Carnot sarebbe facile trovare $PC^2$. Quindi, come troviamo $BP$? Guarda il triangolo $APB$...
PS: Ops. Ho postato senza accorgermi che minomic mi aveva preceduto. Va be', meglio abbondare
Sappiamo che $AB=1$ e che $\hat{ABP}=x$. Dobbiamo calcolare, usando questi due dati, la somma $PC^2+PD^2$.
Solo un indizio, per farti partire: considera il triangolo $PBC$; di esso conosciamo $\hat{PBC}=x+90°$ e $BC=1$; se conoscessimo $BP$, con il teorema di Carnot sarebbe facile trovare $PC^2$. Quindi, come troviamo $BP$? Guarda il triangolo $APB$...
PS: Ops. Ho postato senza accorgermi che minomic mi aveva preceduto. Va be', meglio abbondare
Una domanda perchè AB è uguale a 1?
Perchè dice che il quadrato è di lato unitario
Per usare il teorema di Carnot imponiamo PC^2 = c^2.
Quindi $ c^2= a^2+b^2 -2ab cos x $
ma ho solo BC come faccio?
Quindi $ c^2= a^2+b^2 -2ab cos x $
ma ho solo BC come faccio?
$PB$ lo ricavi sapendo che $APB$ è un triangolo rettangolo e $AB$ la sua ipotenusa.
Però è lo stesso non conosco 2 parametri del triangolo. Non so quanto vale AP o PB conosco solo AB
Il triangolo $APB$ è rettangolo e conosci la sua ipotenusa e un angolo, quindi puoi applicare i teoremi sui triangoli rettangoli e dire
# un cateto è uguale all'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto
# un cateto è uguale all'ipotenusa per il coseno dell'angolo adiacente
# un cateto è uguale all'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto
# un cateto è uguale all'ipotenusa per il coseno dell'angolo adiacente
Quindi $ PB=cosalpha;AP=senx $
e adesso?
e adesso?
E adesso hai tutto: $PB$ lo conosci, $BC=1$ e $\hat{PBC} = 90° + x$ quindi puoi applicare Carnot.
Applicando Carnot abbiamo che $ a^2=b^2+c^2 -2bc $
quindi
$ cos^2 alpha=1+c^2 -2c $
ecco adesso non avendo c mi conviene fare cosa?
quindi
$ cos^2 alpha=1+c^2 -2c $
ecco adesso non avendo c mi conviene fare cosa?
Ma scusa... Tu vuoi $PC^2$ no? Quindi $$
PC^2 = PB^2 + BC^2 - 2\cdot BC\cdot PB \cdot\cos (90+x)
$$
PC^2 = PB^2 + BC^2 - 2\cdot BC\cdot PB \cdot\cos (90+x)
$$
Giusto. QUindi: $ PC^2=cos^2alpha +1 -2cos alpha cos(90+x) $
Ma chi è $alpha$? 
L'angolo è sempre $x$...
L'angolo è sempre $x$...
Pensavo cambiasse l'angolo. Capisco quindi c'è x e non alpha adesso?
Sì sì l'angolo è sempre $x$ e infatti quella è la variabile dalla quale dipenderà tutta la tua funzione.
adesso mi ritrovo 3 coseni come gestirli non ne ho idea..
Se prendi l'espressione $$
\cos^2 x + 1 - 2\cos x\cos(90+x)
$$ la puoi trasformare con le formule degli archi/angoli associati. In particolare $$\cos(90+x) = -\sin x$$ quindi $$
\cos^2 x + 1 - 2\cos x\cos(90+x) = \cos^2 x + 1 + 2\sin x\cos x = \cos^2 x + 1 + \sin 2x
$$ oppure puoi applicare altre trasformazioni che portino tutto in forma più comoda. Però ti consiglio di aspettare a vedere come viene la funzione alla fine e poi ridurla il più possibile.
\cos^2 x + 1 - 2\cos x\cos(90+x)
$$ la puoi trasformare con le formule degli archi/angoli associati. In particolare $$\cos(90+x) = -\sin x$$ quindi $$
\cos^2 x + 1 - 2\cos x\cos(90+x) = \cos^2 x + 1 + 2\sin x\cos x = \cos^2 x + 1 + \sin 2x
$$ oppure puoi applicare altre trasformazioni che portino tutto in forma più comoda. Però ti consiglio di aspettare a vedere come viene la funzione alla fine e poi ridurla il più possibile.
come fai a passare da 2senxcosx a sen2x?
Formula di duplicazione del seno
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