Esercizio sull'ellisse
L'ellisse di equazione $x^2/a^2 + y^2/b^2 =1 $ passa per il punto $P (3;2) $ ed è tangente in tale punto alla retta di coefficiente angolare $-3/8 $. Trovare $a$ e $b$
1.1 Considerato che il punto $P (3;2) $ appartiene all'ellisse, basta sostituirlo all'interno dell'equazione canonica dell'ellisse e si ottiene una prima equazione.
1.2 Per trovare la seconda equazione ho provato a fare un sistema tra l'equazione canonica dell'ellisse e la retta $ y=(-3x+25)/8 $, ottenuta tramite la formula $ y-yo=m(x-x0) $ e sostituendo al posto di $xo $ ed $yo$ le coordinate del punto $P$ ed al posto di $m$ il coefficiente dato nella traccia $-3/8$.
Impongo il delta $=0$, ma come $a^2$ ottengo dei valori enormi. Nonostante questo ho provato a risolvere il sistema tra la prima equazione (quella del 1.1) e quest'ultimo risultato, ma ottengo addirittura una $b^6$.
Mi aiutereste a capire dove sbaglio? grazie mille!
1.1 Considerato che il punto $P (3;2) $ appartiene all'ellisse, basta sostituirlo all'interno dell'equazione canonica dell'ellisse e si ottiene una prima equazione.
1.2 Per trovare la seconda equazione ho provato a fare un sistema tra l'equazione canonica dell'ellisse e la retta $ y=(-3x+25)/8 $, ottenuta tramite la formula $ y-yo=m(x-x0) $ e sostituendo al posto di $xo $ ed $yo$ le coordinate del punto $P$ ed al posto di $m$ il coefficiente dato nella traccia $-3/8$.
Impongo il delta $=0$, ma come $a^2$ ottengo dei valori enormi. Nonostante questo ho provato a risolvere il sistema tra la prima equazione (quella del 1.1) e quest'ultimo risultato, ma ottengo addirittura una $b^6$.
Mi aiutereste a capire dove sbaglio? grazie mille!
Risposte
L'impostazione del problema è corretta, probabilmente ci sono dei problemi con i calcoli come spesso succede con l'ellisse. Posso darti due tipi di consiglio.
1) poni $1/a^2=t$ e $1/b^2=u$ e lavora con queste due incognite, il problema risuterà molto più semplice nei calcoli e da un punto di vista concettuale è esattamente identico a quello indicato da te.
2) usa le formule di sdoppiamento. Le applichi all'ellisse nel punto P e trovi l'equazione della tangente in funzione dei parametri $a^2$ e $b^2$, quindi poni $m$ e $q$ uguali a quelli della tangente che hai già trovato. Ottieni $a^2=9$ e $b^2=9/4$
1) poni $1/a^2=t$ e $1/b^2=u$ e lavora con queste due incognite, il problema risuterà molto più semplice nei calcoli e da un punto di vista concettuale è esattamente identico a quello indicato da te.
2) usa le formule di sdoppiamento. Le applichi all'ellisse nel punto P e trovi l'equazione della tangente in funzione dei parametri $a^2$ e $b^2$, quindi poni $m$ e $q$ uguali a quelli della tangente che hai già trovato. Ottieni $a^2=9$ e $b^2=9/4$
Ho provato come mi hai consigliato nel primo punto, ma mi escono lo stesso numeri enormi, come $40.000 tu$ uff...
Comunque il risultato del libro è $a=5$ e $b=5/2$ !
Come posso fare? anche a te vengono numeri così grandi?
Comunque il risultato del libro è $a=5$ e $b=5/2$ !
Come posso fare? anche a te vengono numeri così grandi?
Sì, viene anche a me quel numero.
Ho rifatto i calcoli con la formula di sdoppiamento e i risultati sono i tuoi, avevo perso un coefficiente.
Ho rifatto i calcoli con la formula di sdoppiamento e i risultati sono i tuoi, avevo perso un coefficiente.
E tu hai continuato con quel numero? comunque il secondo procedimento con le leggi di sdoppiamento non l'ho capito.
So cosa sono: $x^2=x xo$ ed $y^2=y yo$ e so che servono per calcolare la tangente alla curva in un punto appartenente alla curva stessa, ma non mi è chiaro come devo usarle e cosa sono quella $m$ e quella $q$ di cui parli. Potresti spiegarmelo meglio? grazie ^_^
So cosa sono: $x^2=x xo$ ed $y^2=y yo$ e so che servono per calcolare la tangente alla curva in un punto appartenente alla curva stessa, ma non mi è chiaro come devo usarle e cosa sono quella $m$ e quella $q$ di cui parli. Potresti spiegarmelo meglio? grazie ^_^
L'equazione della tangente ad una conica passante per un punto della conica si ottiene sostituendo, nell'equazione della conica, $x^2$ con $x*x_0$ e $y^2$ con $y*y_0$. Nel caso in questione l'equazione della tangente all'ellisse nel punto $P(3;2)$ si ottiene sostituendo nell'equazione generale dell'ellisse le formule suddette dove $x_0$ e $y_0$ sono le coordinate di P
$(3x)/a^2 + (2y)/b^2 =1 $ da cui ricavando y ottengo $y=-(3b^2)/(2a^2)x+b^2/2$
Poiché nel punto P c'è un'unica tangente all'ellisse, la retta appena trovata deve coincidere con quella che avevi trovato all'inizio
$\{(b^2/2 = 25/8),(-(3b^2)/(2a^2)= -3/8):}$
$(3x)/a^2 + (2y)/b^2 =1 $ da cui ricavando y ottengo $y=-(3b^2)/(2a^2)x+b^2/2$
Poiché nel punto P c'è un'unica tangente all'ellisse, la retta appena trovata deve coincidere con quella che avevi trovato all'inizio
$\{(b^2/2 = 25/8),(-(3b^2)/(2a^2)= -3/8):}$
okok, ora ci sono 
grazie mille!
grazie mille!
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