Esercizio sulle simmetrie, non capisco bene la richiesta
Problema
"Per quale valore di $ainRR$ la curva di equazione
$x^2-y^2+(2-a)x+y-3=0$
è simmetrica rispetto all'asse x? Risultato: $a=2$"
----------------------------------
Normalmente sono abituato ad avere una funzione non paramentrica, e a trasformarla nella simmetrica rispetto alle ascisse invertendo il segno della stessa. Qua non so veramente da dove cominciare... ma non è un fascio di'perboli questo? come facio a fare il simmetrico di un fascio???
Se qualcuno potrebbe postarmi il procedimento e spiegarmi che cosa chiede il problema, anche solo una riga, tanto per farmi un'idea
Grazie
"Per quale valore di $ainRR$ la curva di equazione
$x^2-y^2+(2-a)x+y-3=0$
è simmetrica rispetto all'asse x? Risultato: $a=2$"
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Normalmente sono abituato ad avere una funzione non paramentrica, e a trasformarla nella simmetrica rispetto alle ascisse invertendo il segno della stessa. Qua non so veramente da dove cominciare... ma non è un fascio di'perboli questo? come facio a fare il simmetrico di un fascio???
Se qualcuno potrebbe postarmi il procedimento e spiegarmi che cosa chiede il problema, anche solo una riga, tanto per farmi un'idea
Grazie
Risposte
Sicuro che la domanda non sia "[...] è simmetrica rispetto all'asse y"?
è un precorso di matematica per fisici, non può essere un esercizio troppo complicato, se fosse y si potrebbe fare?
Credo proprio che ci sia un errore di stampa, vediamo perchè.
Come hai giustamente notato, $x^2-y^2+(2-c)x+y-3=0$ descrive,
al variare di $c$, un fascio di iperboli. Per trovare $c$ t.p.c. la
conica sia simmetrica rispetto all'asse $y$ possiamo trovare i suoi
asintoti e chiedere loro di incrociarsi sull'asse $y$. E' noto che gli
asintoti di un'iperbole hanno i coefficienti angolari opposti. Da qui
discende che, se un asintoto ha equazione $aX+bY+lambdaT=0$, l'altro
è descritto da $aX-bY+muT=0$. Possiamo allora scrivere l'equazione
del fascio, considerando come coniche degeneri i due asintoti e la
retta impropria, considerata due volte:
$(aX+bY+lambdaT)(aX-bY+muT)+kT^2=0$, al variare di $k in RR$.
Svolgendo il prodotto, si trova
$aX^2-bY^2+X(muaT+lambdaaT)+Y(mubT-lambdabT)+(lambdamu+k)T^2=0$,
ovvero, in coordinate cartesiane,
$ax^2-by^2+x(mua+lambdaa)+y(mub-lambdab)+lambdamu+k=0$. (1)
Osservando l'equazione $x^2-y^2+(2-c)x+y-3=0$ e confrontandola con la (1),
si ha facilmente $a=b=1$. Inoltre, dal sistema
${(mu-lambda=1),(lambda+mu=2-c),(lambdamu+k=3):}$,
si trova facilmente $lambda=(1-c)/2$, $mu=(3-c)/2$. Dunque le
equazioni degli asintoti sono $y=-x-(1-a)/2$ e $y=x+(3-a)/2$.
Il punto di intersezione è $P=((c-2)/2,1/2)$. Da qui si capisce
che non ci può essere un'iperbole del fascio simmetrica rispetto
all'asse $x$, in quanto l'ordinata del centro è fissa a $y_P=1/2$.
Esiste però un'iperbole simmetrica rispetto all'asse $y$, e si trova
risolvendo $x_P=(c-2)/2=0$, da cui, appunto, $c=2$.
Non escludo che ci sia un procedimento più semplice.
Come hai giustamente notato, $x^2-y^2+(2-c)x+y-3=0$ descrive,
al variare di $c$, un fascio di iperboli. Per trovare $c$ t.p.c. la
conica sia simmetrica rispetto all'asse $y$ possiamo trovare i suoi
asintoti e chiedere loro di incrociarsi sull'asse $y$. E' noto che gli
asintoti di un'iperbole hanno i coefficienti angolari opposti. Da qui
discende che, se un asintoto ha equazione $aX+bY+lambdaT=0$, l'altro
è descritto da $aX-bY+muT=0$. Possiamo allora scrivere l'equazione
del fascio, considerando come coniche degeneri i due asintoti e la
retta impropria, considerata due volte:
$(aX+bY+lambdaT)(aX-bY+muT)+kT^2=0$, al variare di $k in RR$.
Svolgendo il prodotto, si trova
$aX^2-bY^2+X(muaT+lambdaaT)+Y(mubT-lambdabT)+(lambdamu+k)T^2=0$,
ovvero, in coordinate cartesiane,
$ax^2-by^2+x(mua+lambdaa)+y(mub-lambdab)+lambdamu+k=0$. (1)
Osservando l'equazione $x^2-y^2+(2-c)x+y-3=0$ e confrontandola con la (1),
si ha facilmente $a=b=1$. Inoltre, dal sistema
${(mu-lambda=1),(lambda+mu=2-c),(lambdamu+k=3):}$,
si trova facilmente $lambda=(1-c)/2$, $mu=(3-c)/2$. Dunque le
equazioni degli asintoti sono $y=-x-(1-a)/2$ e $y=x+(3-a)/2$.
Il punto di intersezione è $P=((c-2)/2,1/2)$. Da qui si capisce
che non ci può essere un'iperbole del fascio simmetrica rispetto
all'asse $x$, in quanto l'ordinata del centro è fissa a $y_P=1/2$.
Esiste però un'iperbole simmetrica rispetto all'asse $y$, e si trova
risolvendo $x_P=(c-2)/2=0$, da cui, appunto, $c=2$.
Non escludo che ci sia un procedimento più semplice.
La risposta è formidabile, chiarissima ovviamente, il fatto è che all'iperbole non ci siamo arrivati quindi loro (almeno credo) presuppongono che gli assi non li sappiamo trovare. Comunque ho capito in pieno il metodo, che tra l'altro posso applicare a qualsiasi luogo con un "baricentro", penso. Magari domani danno un'altra soluzione, vediamo
molte grazie e saluti
molte grazie e saluti
Il metodo di elgiovo è ottimo per le simmetrie generiche ma per la simmetria rispetto agli assi l'unica condizione è che il coefficiente del termine di primo grado dell'asse opposto sia 0, mi spiego applicando all'esempio.
La conica è simmetrica rispetto all'asse y se $(2-c)=0$ che è verificata per $c=2$, mentre è simmetrica rispetto all'asse x per $1=0$ che non è mai verificata.
Spero di essermi spiegato bene
La conica è simmetrica rispetto all'asse y se $(2-c)=0$ che è verificata per $c=2$, mentre è simmetrica rispetto all'asse x per $1=0$ che non è mai verificata.
Spero di essermi spiegato bene
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