Esercizio sulla parabola
Salve a tutti!
Ieri stavo dando un'occhiata agli esercizi che il nostro prof. ci ha gentilmente lasciato per il 1° Maggio
e uno di questi mi ha lasciato perplesso. Il testo del quesito è il seguente:
"Scrivere l'eq. della parabola y=ax
+bx+c passante per il punto A?(1/2;-5/4) e tangente alla retta y=4x-4 nel punto di ascissa x=1"
Ora, da quanto mi è stato insegnato, per poter calcolare l'eq. della parabola debbo conoscere almeno 3 punti: fino ad ora conosco 2 punti e cioé:
A?(1/2;-5/4)
B?(1;0) perché y=4x-4 -> y=4-4 quindi x=1 e y=0
Arrivato a questo punto mi mancherebbe un terzo punto (che gioco di parole, eh?
) che non so dove ricavarlo...
C?(?;?)
Ieri stavo dando un'occhiata agli esercizi che il nostro prof. ci ha gentilmente lasciato per il 1° Maggio
e uno di questi mi ha lasciato perplesso. Il testo del quesito è il seguente:"Scrivere l'eq. della parabola y=ax
+bx+c passante per il punto A?(1/2;-5/4) e tangente alla retta y=4x-4 nel punto di ascissa x=1"Ora, da quanto mi è stato insegnato, per poter calcolare l'eq. della parabola debbo conoscere almeno 3 punti: fino ad ora conosco 2 punti e cioé:
A?(1/2;-5/4)
B?(1;0) perché y=4x-4 -> y=4-4 quindi x=1 e y=0
Arrivato a questo punto mi mancherebbe un terzo punto (che gioco di parole, eh?
) che non so dove ricavarlo...C?(?;?)
Risposte
Per risolvere il problema occorrono tre relazioni.
Abbiamo due punti: A(1/2,-5/4) e B(1,0), inoltre retta e parabola sono tangenti.
Mettiamo le due equazioni a sistema:
{y = 4x - 4
{y = ax² + bx + c
ax² + bx + c = 4x - 4
ax² + bx - 4x + c + 4 = 0
Ora, affinché vi sia tangenza, bisogna che il 'delta' dell'equazione
sia uguale a zero. Quindi:
(b - 4)² - 4a(c + 4) = 0
Questa è la terza relazione da sfruttare, oltre al passaggio per i due punti.
Risolvendo il sistema:
{a + b + c = 0 [passaggio per B]
{-5/4 = 1/4 a + 1/2 b + c [passaggio per A]
{(b - 4)² - 4a(c + 4) = 0 [condizione di tangenza]
Si trova: a = 3, b = -2 e c = -1.
Quindi l'equazione della parabola è:
y = 3x² - 2x - 1
Abbiamo due punti: A(1/2,-5/4) e B(1,0), inoltre retta e parabola sono tangenti.
Mettiamo le due equazioni a sistema:
{y = 4x - 4
{y = ax² + bx + c
ax² + bx + c = 4x - 4
ax² + bx - 4x + c + 4 = 0
Ora, affinché vi sia tangenza, bisogna che il 'delta' dell'equazione
sia uguale a zero. Quindi:
(b - 4)² - 4a(c + 4) = 0
Questa è la terza relazione da sfruttare, oltre al passaggio per i due punti.
Risolvendo il sistema:
{a + b + c = 0 [passaggio per B]
{-5/4 = 1/4 a + 1/2 b + c [passaggio per A]
{(b - 4)² - 4a(c + 4) = 0 [condizione di tangenza]
Si trova: a = 3, b = -2 e c = -1.
Quindi l'equazione della parabola è:
y = 3x² - 2x - 1
gia che è aperto il topic ne approfitto per mettere questi 2 esercizi che non mi vengono:
Calcola le equazioni delle rette tangenti alla parabola di equazione y=-x^2+2x+4 condotte nel punto P(1/2,7) e le cordinate dei punti di tangenza. risultato 4x-y+5=0;2x+y-8=0;(-1,1);(2,4)
data la parabola di equazione y=-x^2+5x+1 considera il fascio di rette parallele alla bisettrice del primo e del terzo quadrante ;detrmina la retta tangente alla parabola data.
risultato y=x+5
se esiste un limite voglio raggiungerlo per poi superarlo
Calcola le equazioni delle rette tangenti alla parabola di equazione y=-x^2+2x+4 condotte nel punto P(1/2,7) e le cordinate dei punti di tangenza. risultato 4x-y+5=0;2x+y-8=0;(-1,1);(2,4)
data la parabola di equazione y=-x^2+5x+1 considera il fascio di rette parallele alla bisettrice del primo e del terzo quadrante ;detrmina la retta tangente alla parabola data.
risultato y=x+5
se esiste un limite voglio raggiungerlo per poi superarlo
Facciamo il secondo... Le rette parallele a y = x hanno equazione: y = x + q
{y = x + q
{y = -x² + 5x + 1
-x² + 5x + 1 = x + q
-x² + 4x - q + 1 = 0
x² - 4x + q - 1 = 0
Ora DELTA=0:
16 - 4(q - 1) = 0
16 - 4q + 4 = 0
4q = 20 ==> q = 5.
La tangente è quindi y = x + 5.
{y = x + q
{y = -x² + 5x + 1
-x² + 5x + 1 = x + q
-x² + 4x - q + 1 = 0
x² - 4x + q - 1 = 0
Ora DELTA=0:
16 - 4(q - 1) = 0
16 - 4q + 4 = 0
4q = 20 ==> q = 5.
La tangente è quindi y = x + 5.
Primo esercizio.
Le rette passanti per P hanno equazione: y = mx - 1/2 m + 7
{y = mx - 1/2 m + 7
{y = -x² + 2x + 4
-x² + 2x + 4 = mx - 1/2 m + 7
-x² - mx + 2x + 1/2 m - 3 = 0
x² + mx - 2x - 1/2 m + 3 = 0
DELTA = 0
(m - 2)² - 4(3 - 1/2 m) = 0
Risolvendo questa equazione si ottiene: m = 4 e m = -2
Le tangenti condotte per P sono allora:
y = 4x + 5 e y = -2x + 8
Le rette passanti per P hanno equazione: y = mx - 1/2 m + 7
{y = mx - 1/2 m + 7
{y = -x² + 2x + 4
-x² + 2x + 4 = mx - 1/2 m + 7
-x² - mx + 2x + 1/2 m - 3 = 0
x² + mx - 2x - 1/2 m + 3 = 0
DELTA = 0
(m - 2)² - 4(3 - 1/2 m) = 0
Risolvendo questa equazione si ottiene: m = 4 e m = -2
Le tangenti condotte per P sono allora:
y = 4x + 5 e y = -2x + 8
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