Esercizio sul prodotto scalare
Buongiorno a tutti,
devo risolvere un esercizio sul prodotto scalare. L'esercizio è il seguente:
Questa operazione definisce un prodotto scalare?
$RR^2 xx RR^2$ $\rightarrow$ $\RR:$ $(\vec u, \vec v)$ $\to$ $u_1$$v_1$$- u_2$$v_2$
Il problema è che proprio non capisco come devo impostare l'esercizio!
Leggendo la teoria credo che dovrei provare, per esempio, a verificare questa operazione con la proprietà commutativa che dice:
$\vec a*\vec b = \vec b*\vec a$
Ma come faccio?
Grazie mille in anticipo
devo risolvere un esercizio sul prodotto scalare. L'esercizio è il seguente:
Questa operazione definisce un prodotto scalare?
$RR^2 xx RR^2$ $\rightarrow$ $\RR:$ $(\vec u, \vec v)$ $\to$ $u_1$$v_1$$- u_2$$v_2$
Il problema è che proprio non capisco come devo impostare l'esercizio!
Leggendo la teoria credo che dovrei provare, per esempio, a verificare questa operazione con la proprietà commutativa che dice:
$\vec a*\vec b = \vec b*\vec a$
Ma come faccio?
Grazie mille in anticipo
Risposte
Uso w al posto di u perché nel corsivo u e v si confondono.
Per la proprietà commutativa bisogna verificare che (v, w) = (w, v):
$(w, v) = w_1 v_1 - w_2 v_2 = v_1 w_1 - v_2 w_2 = (v, w)$.
Le altre proprietà del prodotto scalare si verificano in modo analogo:
$(v + u, w) =? (v, w) + (u, w)$
$(v + u, w) = (v_1 + u_1)w_1 - (v_2 + u_2)w_2$ = ecc.
Per la proprietà commutativa bisogna verificare che (v, w) = (w, v):
$(w, v) = w_1 v_1 - w_2 v_2 = v_1 w_1 - v_2 w_2 = (v, w)$.
Le altre proprietà del prodotto scalare si verificano in modo analogo:
$(v + u, w) =? (v, w) + (u, w)$
$(v + u, w) = (v_1 + u_1)w_1 - (v_2 + u_2)w_2$ = ecc.
Ti faccio pure notare che il prodotto scalare viene pure chiamato prodotto interno, ed è
molto importante nella definizione del concetto fisico di lavoro.
Giusto per riprendere a scrivere le formule indico la definizione in formula del prodotto
scalare (si tratta di un numero reale):
$u*v = |u||v|cos\hat(uv)$
molto importante nella definizione del concetto fisico di lavoro.
Giusto per riprendere a scrivere le formule indico la definizione in formula del prodotto
scalare (si tratta di un numero reale):
$u*v = |u||v|cos\hat(uv)$
Ok, grazie per l'informazione 
Comunque, tornando all'esercizio, modificando l'operazione come dice jitter (che ha ragione in quanto la u e la v in corsivo si confondono) diventerebbe:
$RR^2 xx RR^2$ $\rightarrow$ $\RR:$ $(\vec w, \vec v)$ $\to$ $w_1$$v_1$$- w_2$$v_2$
Ho capito come si verifica la proprietà commutativa, ed ineffetti questa operazione sembrerebbe definire un prodotto scalare! Ma però per sapere se definisce veramente un prodotto scalare devo verificare anche le altre proprietà, vero?
Queste altre proprietà sarebbero le seguenti:
2. $\vec a*(\vec b + \vec c) = \vec a*\vec b + \vec a*\vec c$
3. $(\lambda*\vec a)*\vec b = \lambda*(\vec a*\vec b)$
4. $\vec a*\vec a > 0$
Ad esempio la proprietà 4, come la verifico? Devo fare $\vec w*\vec w$ ? Ma come si fa a capire che è maggiore di zero?
Comunque, tornando all'esercizio, modificando l'operazione come dice jitter (che ha ragione in quanto la u e la v in corsivo si confondono) diventerebbe:
$RR^2 xx RR^2$ $\rightarrow$ $\RR:$ $(\vec w, \vec v)$ $\to$ $w_1$$v_1$$- w_2$$v_2$
Ho capito come si verifica la proprietà commutativa, ed ineffetti questa operazione sembrerebbe definire un prodotto scalare! Ma però per sapere se definisce veramente un prodotto scalare devo verificare anche le altre proprietà, vero?
Queste altre proprietà sarebbero le seguenti:
2. $\vec a*(\vec b + \vec c) = \vec a*\vec b + \vec a*\vec c$
3. $(\lambda*\vec a)*\vec b = \lambda*(\vec a*\vec b)$
4. $\vec a*\vec a > 0$
Ad esempio la proprietà 4, come la verifico? Devo fare $\vec w*\vec w$ ? Ma come si fa a capire che è maggiore di zero?
La 4 proprietà puoi dimostrarla dalla definizione che ti avevo dato
di prodotto scalare, ovverro il prodotto scalare di un vettore per se stesso
è pari al prodotto dei moduli, per il cos dell'angolo formato tra i vettori, che in qst
caso è 1 (l'angolo vale 0). Quindi il prodotto scalare di un vettore per se stesso è pari al quadrato del modulo
del vettore, quantità positiva.
Ti faccio notare che sempre ricorrendo alla definizione fornita di prodotto scalare, se consideri il
prodotto scalare di due vettori ortogonali, esso sarà pari a 0, in quanto il cos di 90° , angolo formato tra i
due vettori , è 0.
di prodotto scalare, ovverro il prodotto scalare di un vettore per se stesso
è pari al prodotto dei moduli, per il cos dell'angolo formato tra i vettori, che in qst
caso è 1 (l'angolo vale 0). Quindi il prodotto scalare di un vettore per se stesso è pari al quadrato del modulo
del vettore, quantità positiva.
Ti faccio notare che sempre ricorrendo alla definizione fornita di prodotto scalare, se consideri il
prodotto scalare di due vettori ortogonali, esso sarà pari a 0, in quanto il cos di 90° , angolo formato tra i
due vettori , è 0.
non è l'angolo a valere 1, ma il coseno.
L'angolo vale zero, in quanto se pensi a due vettori uguali (con
stesso modulo, stesso verso, stessa direzione) ,
per definizione di prodotto scalare devi considerare il
prodotto dei moduli (ovvero ciò che in fisica si chiama
intensità) per il coseno dell'angolo compreso, che tra un
vettore e se stesso è zero.
Se fai un disegno te ne accorgi immediatamente.
E' chiaro adesso?
L'angolo vale zero, in quanto se pensi a due vettori uguali (con
stesso modulo, stesso verso, stessa direzione) ,
per definizione di prodotto scalare devi considerare il
prodotto dei moduli (ovvero ciò che in fisica si chiama
intensità) per il coseno dell'angolo compreso, che tra un
vettore e se stesso è zero.
Se fai un disegno te ne accorgi immediatamente.
E' chiaro adesso?
Ok, adesso ho capito.
Ho pensato a una variante: dato che $\vec a*\vec a > 0$
per ogni $\vec a != 0$, allora avremo $\vec w*\vec w = ((w_1,w_1),(w_2,w_2)) = w_1w_1 + w_2w_2 = w_1^2 + w_2^2 > 0$
Funzionerebbe?
Ma c'è una cosa che non mi è molto chiara di questo esercizio: abbiamo scritto inizialmente che
$RR^2 xx RR^2$ $\rightarrow$ $\RR:$ $(\vec w, \vec v)$ $\to$ $w_1$$v_1$$- w_2$$v_2$, però non dovrebbe essere $w_1$$v_1$$+ w_2$$v_2$? Nel senso, cosa mi cambia questo all'interno dell'esercizio? Non che sto sbagliando tutto!
P.S.: salfor76, sei un fisico?
Ho pensato a una variante: dato che $\vec a*\vec a > 0$
per ogni $\vec a != 0$, allora avremo $\vec w*\vec w = ((w_1,w_1),(w_2,w_2)) = w_1w_1 + w_2w_2 = w_1^2 + w_2^2 > 0$
Funzionerebbe?
Ma c'è una cosa che non mi è molto chiara di questo esercizio: abbiamo scritto inizialmente che
$RR^2 xx RR^2$ $\rightarrow$ $\RR:$ $(\vec w, \vec v)$ $\to$ $w_1$$v_1$$- w_2$$v_2$, però non dovrebbe essere $w_1$$v_1$$+ w_2$$v_2$? Nel senso, cosa mi cambia questo all'interno dell'esercizio? Non che sto sbagliando tutto!
P.S.: salfor76, sei un fisico?
Ciao DP,
$ v_1 w1 + v_2 w_2$ è sì un prodotto scalare, ma non è l'unico: anche $ v_1 w_1 - v_2 w_2$, quello dell'esercizio, lo è.
Il prodotto scalare non si definisce, come per esempio la somma e la moltiplicazione aritmetiche, in maniera "univoca": 2 + 3 fa sempre 5 e 2 x 3 fa sempre 6. Puoi invece costruire/definire/introdurre tanti prodotti scalari: tutti quelli che godono delle proprietà elencate nella definizione di questa operazione. Per questo puoi avere diverse espressioni algebriche (come quella dell'esercizio) che rappresentano prodotti scalari.
Quindi, come dici, devi verificare tutte le proprietà algebricamente, usando la forma in cui espresso il tuo prodotto scalare (in questo caso $ v_1 w1 - v_2 w_2$). La proprietà (v, v) > 0 non so se è sempre richiesta o dipende dagli autori. Proviamo.... $(v, v) = v_1 v_2 - v_1 v_2 = 0$. No, qui viene 0. Allora, se non sbaglio, questo è un prodotto scalare non positivo. L'esempio che hai fatto tu $(v_1 w_1 + v_2 w_2)$ invece è quello di un prodotto scalare positivo.
Per la seconda proprietà:
$v (u + w) = v_1 (u_1 + w_1) - v_2 (u_2 + w_2) = v_1 u_1 - v_2 u_2 + v_1 w_1 - v_2 w_2 = v u + v w$.
La terza: analoga.
@Salfor. Mi sembra che il prodotto scalare definito come prodotto dei moduli per il coseno sia una definizione basata su un particolare prodotto scalare, quello "standard" ($(v, w) = v_1 w_1 + v_2 w_2$). In generale:
1) è il coseno a essere definito in funzione del prodotto scalare, non viceversa
2) se si tratta del prodotto standard, allora ok: coincide con il prodotto dei moduli per il coseno, di cui si conosce la def. dalla goniometria.
Non sono sicura, però, di questo, ma adesso son sotto le coperte e non mi alzo a controllare
$ v_1 w1 + v_2 w_2$ è sì un prodotto scalare, ma non è l'unico: anche $ v_1 w_1 - v_2 w_2$, quello dell'esercizio, lo è.
Il prodotto scalare non si definisce, come per esempio la somma e la moltiplicazione aritmetiche, in maniera "univoca": 2 + 3 fa sempre 5 e 2 x 3 fa sempre 6. Puoi invece costruire/definire/introdurre tanti prodotti scalari: tutti quelli che godono delle proprietà elencate nella definizione di questa operazione. Per questo puoi avere diverse espressioni algebriche (come quella dell'esercizio) che rappresentano prodotti scalari.
Quindi, come dici, devi verificare tutte le proprietà algebricamente, usando la forma in cui espresso il tuo prodotto scalare (in questo caso $ v_1 w1 - v_2 w_2$). La proprietà (v, v) > 0 non so se è sempre richiesta o dipende dagli autori. Proviamo.... $(v, v) = v_1 v_2 - v_1 v_2 = 0$. No, qui viene 0. Allora, se non sbaglio, questo è un prodotto scalare non positivo. L'esempio che hai fatto tu $(v_1 w_1 + v_2 w_2)$ invece è quello di un prodotto scalare positivo.
Per la seconda proprietà:
$v (u + w) = v_1 (u_1 + w_1) - v_2 (u_2 + w_2) = v_1 u_1 - v_2 u_2 + v_1 w_1 - v_2 w_2 = v u + v w$.
La terza: analoga.
@Salfor. Mi sembra che il prodotto scalare definito come prodotto dei moduli per il coseno sia una definizione basata su un particolare prodotto scalare, quello "standard" ($(v, w) = v_1 w_1 + v_2 w_2$). In generale:
1) è il coseno a essere definito in funzione del prodotto scalare, non viceversa
2) se si tratta del prodotto standard, allora ok: coincide con il prodotto dei moduli per il coseno, di cui si conosce la def. dalla goniometria.
Non sono sicura, però, di questo, ma adesso son sotto le coperte e non mi alzo a controllare
Ok, grazie mille per le spiegazioni!
DP11
DP11
Alla prossima!
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