Esercizio sul fascio di parabole

[samue23]

Mi aiutate a svolgere il 232? Perfavore..grazie

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Posto

[math]a \in \mathbb{R}[/math]

, sia dato il fascio di parabole di equazione
cartesiana

[math]y = a\,x^2 + \left(\frac{2}{3} - 7\,a\right)x +\left( 10\,a - \frac{4}{3} \right)\\[/math]

.


a. Ponendo

[math]a = 0[/math]

si ottiene

[math]y = \frac{2}{3}\,x - \frac{4}{3}[/math]

(parabola degenere) e ponendo

[math]a = 1[/math]

si ottiene

[math]y = x^2 -\frac{19}{3}\,x + \frac{26}{3}[/math]

. Ottenute le equazioni di due para-
bole qualsiasi del fascio, intersecandole si ottengono le coordinate dei due punti
base:

[math]\begin{cases}y = \frac{2}{3}\,x - \frac{4}{3} \\ y = x^2 -\frac{19}{3}\,x + \frac{26}{3}\end{cases} \; \; \Leftrightarrow \; \; (x,\,y) = (2,\,0) \, \vee \, (x,\,y) = (5,\,2)\\[/math]

.


b. L'ascissa dei vertici delle parabole del fascio è pari a

[math]x = -\frac{\frac{2}{3}-7\,a}{2\,a}[/math]

,
da cui

[math]a = \frac{2}{3\,(7 - 2\,x)}[/math]

. D'altro canto, l'ordinata dei vertici delle parabole
del fascio è pari a

[math]y = \frac{4\,a\left(10\,a - \frac{4}{3}\right) - \left(\frac{2}{3} - 7\,a\right)^2}{4\,a}[/math]

, ove sostituendo al posto
di

[math]a[/math]

l'espressione dipendente da

[math]x[/math]

si ottiene l'equazione cartesiana del
luogo dei vertici desiderato:

[math]y = \frac{2\,(x - 7)^2}{3\,(2\,x - 7)}\\[/math]

.


c. Dal punto precedente sappiamo che l'ascissa dei vertici delle para-
bole del fascio è pari a

[math]x = -\frac{\frac{2}{3}-7\,a}{2\,a}[/math]

, mentre l'ordinata è pari a

[math]y = \frac{4\,a\left(10\,a - \frac{4}{3}\right) - \left(\frac{2}{3} - 7\,a\right)^2}{4\,a}[/math]

. Ebbene, sostituendo tali coordinate
nell'equazione

[math]3\,y - 10\,x + 32 = 0[/math]

e semplificando si ottiene

[math]\frac{3}{a} - \frac{27}{4}\,a = 0[/math]

, equazione verificata se e soltanto se

[math]a = \pm \frac{2}{3}[/math]

,
valori da assegnare al parametro

[math]a[/math]

affinché i vertici delle parabole
del fascio assegnato appartengano a tale retta.


Spero sia sufficientemente chiaro. ;)