Esercizio sul calcolo combinatorio

[Razor29]

Salve a tutti,
nonostante questo tipo di problemi siano piuttosto semplici, ne ho trovato uno in cui qualcosa mi sfugge...
L'esercizio dice:

Considera tutti i numeri naturali composti da 4 cifre differenti (e con la prima cifra diversa da 0). Quanti sono pari?

Personalmente risponderei dicendo che abbiamo $9\cdot8\cdot7\cdot1 = 504$ numeri che terminano per $0$. Questo numero va sommato ai numeri che terminano per $2$,$4$,$6$ e $8$, cioè $9\cdot8\cdot7\cdot4 = 2016$ numeri, per un totale di $2520$ numeri pari. Ora, guardando le soluzioni, c'è scritto che la somma di quelli che terminano per $2$,$4$,$6$ e $8$ è: $8\cdot8\cdot7\cdot4$.
Perciò non riesco a capire dove è il mio errore.

[axpgn]

Perché l'ultima cifra è fissata ($2,4,6,8$) mentre nella prima devi togliere anche lo zero cioè $(8*8*7)*4$

Ti torna?

Cordialmente, Alex

[Razor29]

Ma allora non dovrebbe essere anche $8\cdot8\cdot\7\cdot1$ nel primo (quelli che terminano con lo zero)?

[axpgn]

No perché in quel caso la prima cifra la scegli tra nove valori: lo zero lo hai già tolto.

Specifico che ne mio post precedente scrivendo "prima" intendevo la "prima cifra"

[Razor29]

Forse devo essere più preciso: io non riesco a capire perché non va più bene scrivere $9*8*7*4$, perché appunto qui lo 0 è già stato tolto (il caso in cui terminano con lo 0). Non mi è chiaro perché bisogna eliminare un'ulteriore numero, facendo diventare $8*8*7*4$ (perché scegliere la prima cifra tra 8 valori?).

[adaBTTLS1]

"Razor29":Ma allora non dovrebbe essere anche $8\cdot8\cdot\7\cdot1$ nel primo (quelli che terminano con lo zero)?

"Razor29":Forse devo essere più preciso: io non riesco a capire perché non va più bene scrivere $9*8*7*4$, perché appunto qui lo 0 è già stato tolto (il caso in cui terminano con lo 0). Non mi è chiaro perché bisogna eliminare un'ulteriore numero, facendo diventare $8*8*7*4$ (perché scegliere la prima cifra tra 8 valori?).

le cifre, contando anche lo zero, sono 10, quindi nel primo caso per le prime tre cifre usi tutte le 9 cifre escluso lo 0;
nel secondo caso prova a partire dall'ultima cifra, che scegli in 4 modi; poi però dalle prime tre cifre devi eliminare quella che hai già scelto per l'ultima, oltre che eliminare lo 0 dalla prima:
dunque $1*9*8*7+4*8*8*7$
è chiaro?
ciao!

[Razor29]

Perfetto
Grazie a entrambi per l'aiuto!

[adaBTTLS1]

prego!