Esercizio su iperbole equilatera

[lupu1]

Qual è l'equazione di un iperbole equilatera riferita agli asintoti che stacca sulla retta x+y=6 un segmento di misura 2(2)*1/2?



AIUTO!!!

[fireball1]

Prima di tutto occorre definire come dev'essere intesa la scrittura 2(2)*1/2...

[lupu1]

2(2)*1/2
deve essere inteso come 2 x (2)exp(1/2)
E' piu' chiaro?

[fireball1]

Ora che mi hai reso più chiara la tua scrittura, si vuole che l'iperbole equilatera riferita agli asintoti di equazione parametrica \( xy = k \) intercetti sulla retta \( x+y = 6 \) un segmento di misura \( 2 \sqrt{2} \).

Poniamo a sistema retta ed iperbole:

\( \begin{cases}xy=k \\ x+y=6\end{cases} \)

dalla seconda equazione si ha che $ y = 6 - x $, quindi sostituendo nella prima abbiamo $ x(6-x) = k $, svolgendo il prodotto e portando tutto al primo membro otteniamo la seguente equazione di secondo grado in x:

$ -x^2 + 6x - k = 0 $

oppure, cambiando tutti i segni

$ x^2 - 6x + k = 0 $

Soluzioni dell'equazione:

\( x = 3 \pm \sqrt{9-k} \)


quindi sostituendo nella seconda equazione è \( y = 3 \mp\sqrt{9-k} \)

Nel problema si vuole che il segmento di estremi $ P(3+sqrt(9-k); 3-sqrt(9-k)) $ e $Q(3-sqrt(9-k) ; 3+sqrt(9-k)) $ abbia misura \( 2\sqrt{2} \).
Imponiamolo con la formula della distanza tra due punti:

\( \sqrt{((3-\sqrt{9-k}) - 3-\sqrt{9-k})^2 + ((3+\sqrt{9-k}) - 3+\sqrt{9-k})^2} = 2\sqrt{2} \)

Risolvendo l'equazione irrazionale nell'incognita k otteniamo alla fine che $ k = 8 $ e quindi l'iperbole equilatera è rappresentata dall'equazione $ xy = 8 $.

ciao
fireball