Esercizio su funzioni iniettive, suriettive e biunivoche
Ciao a tutti! 
Mi sono imbattuto su un esercizio in cui mi viene chiesto di determinare se la funzione
$ f(x) = x^3 − x, x ∈ R $
è iniettiva, suriettiva o biunivoca.
Per determinare se la funzione in questione sia suriettiva o meno ho capito che devo esplicitare l'incognita x, esprimendola in funzione di y, per poi verificare se vi siano valori y che non possano essere inseriti nella formula (e che quindi non hanno immagine), la cui esistenza la rende non suriettiva; il fatto è che non ci riesco (il che mi porta all'incapacità nel risolvere un'equazione di terzo grado).
Per determinarne l'iniettività non so nemmeno da dove partire...
Grazie in anticipo dell'aiuto!
Mi sono imbattuto su un esercizio in cui mi viene chiesto di determinare se la funzione
$ f(x) = x^3 − x, x ∈ R $
è iniettiva, suriettiva o biunivoca.
Per determinare se la funzione in questione sia suriettiva o meno ho capito che devo esplicitare l'incognita x, esprimendola in funzione di y, per poi verificare se vi siano valori y che non possano essere inseriti nella formula (e che quindi non hanno immagine), la cui esistenza la rende non suriettiva; il fatto è che non ci riesco (il che mi porta all'incapacità nel risolvere un'equazione di terzo grado).
Per determinarne l'iniettività non so nemmeno da dove partire...
Grazie in anticipo dell'aiuto!
Risposte
Un piccolo consiglio anche se nn so a quale livello tu sia
Fai il disegno anche approssimativo... la funzione la scrivi anche come
$y=x(x^2-1)$
Quindi vedi che ha tre zeri cioe
x=-1,0,1
Questo gia ti dice che non e iniettiva
Fai i limiti a piu e meno infinito e vedi come si comporta... uno schizzo veloce ce la fai a farlo?
Dal disegno vedi che e suriettiva (ogni elemento del codominio e l immagine di almeno un elemento del dominio) ma non iniettiva perche esistono differenti x a cui corrisponde la stessa y
Per esempio y vale zero se x e uguale a -1 oppure +1 opppure zero come si diceva prima
Per cui non e nemmeno biiettiva quindi n0n e invertibile
Riesci a disegnarla?
Fai il disegno anche approssimativo... la funzione la scrivi anche come
$y=x(x^2-1)$
Quindi vedi che ha tre zeri cioe
x=-1,0,1
Questo gia ti dice che non e iniettiva
Fai i limiti a piu e meno infinito e vedi come si comporta... uno schizzo veloce ce la fai a farlo?
Dal disegno vedi che e suriettiva (ogni elemento del codominio e l immagine di almeno un elemento del dominio) ma non iniettiva perche esistono differenti x a cui corrisponde la stessa y
Per esempio y vale zero se x e uguale a -1 oppure +1 opppure zero come si diceva prima
Per cui non e nemmeno biiettiva quindi n0n e invertibile
Riesci a disegnarla?
Iniettività: Una funzione è iniettiva se dati $x!=y$, risulta $f(x)!=f(y)$. Pertanto per verificare se la tua funzione è iniettiva verifichiamo che se $x!=y$, risulta $f(x)!=f(y)$ per qualsiasi $x,y in R$.
$x^3-x=y^3-y$
$x^3-y^3=x-y$
$(x-y)(x^2+xy+y^2)=x-y$
$x^2+xy+y^2=1$
$(x+1/2y)^2=1-3/4y^2$
Deve risultare $1-3/4y^2>=0$ da cui $y in [-2sqrt(3)/3, 2sqrt(3)/3]$
Pertanto fissato $y$ in quell'intervallo, esiste un $x!=y$ tale che $f(x)=f(y)$, la funzione non è pertanto iniettiva.
Una funzione $f: X->Y$ è suriettiva se per qualsiasi $y in Y$ esiste un $x in X$ tale che $f(x)=y$. Ossia nel tuo caso, significa che l'equazione $x^3-x-y=0$ ha almeno una soluzione reale. Questo è vero per il teorema fondamentale dell'algebra. La fuzione è pertanto suriettiva.
Chiaramente non essendo iniettiva non può neanche essere biunivoca.
$x^3-x=y^3-y$
$x^3-y^3=x-y$
$(x-y)(x^2+xy+y^2)=x-y$
$x^2+xy+y^2=1$
$(x+1/2y)^2=1-3/4y^2$
Deve risultare $1-3/4y^2>=0$ da cui $y in [-2sqrt(3)/3, 2sqrt(3)/3]$
Pertanto fissato $y$ in quell'intervallo, esiste un $x!=y$ tale che $f(x)=f(y)$, la funzione non è pertanto iniettiva.
Una funzione $f: X->Y$ è suriettiva se per qualsiasi $y in Y$ esiste un $x in X$ tale che $f(x)=y$. Ossia nel tuo caso, significa che l'equazione $x^3-x-y=0$ ha almeno una soluzione reale. Questo è vero per il teorema fondamentale dell'algebra. La fuzione è pertanto suriettiva.
Chiaramente non essendo iniettiva non può neanche essere biunivoca.
Ringrazio molto tutti e due. Entrambe le vostre risposte mi sono tornate d'aiuto per finire l'esercizio.
Ciao e alla prossima!
Ciao e alla prossima!
Ciao eulero alla prossima!
Vulplasir che approfitto per salutare ti ha dato una risposta molto piu rigorosa della mia che invece era piu "praticona"... il risultato a cui siamo giunti era il medesimo per mia fortuna
Tta l altro confesso che vulplasir ha utilizzato due definizioni di iniettivita e suroettivita che non conoscevo ma che ho imparato oggi con piacere
Vulplasir che approfitto per salutare ti ha dato una risposta molto piu rigorosa della mia che invece era piu "praticona"... il risultato a cui siamo giunti era il medesimo per mia fortuna
Tta l altro confesso che vulplasir ha utilizzato due definizioni di iniettivita e suroettivita che non conoscevo ma che ho imparato oggi con piacere
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