Esercizio Parabola (74994)

[peppe6000]

Scrivi l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse x, di vertice V(-3/2;2), passante per P(-1/2;1). Determina l'equazione della retta parallela alla bisettrice del primo e del terzo quadrante che intercetta sulla parabola una corda lunga 3 radice di 2.


SOLUZIONI: x=y^2-4y+5/2 ; 2x-2y+3=0

[BIT5]

a)

le parabole con asse parallelo all'asse x, sono della forma

[math] x=ay^2+by+c [/math]

dal momento che i parametri sono 3, 3 dovranno essere le informazioni necessarie per ricavare la parabola.

le tre condizioni date dall'esercizio sono:

[math] x_V=- \frac32 \ \ \ \ \ y_V=2 \ \ \ \ P \(- \frac12,1 \) \in p [/math]

Ricordando che

[math] x_V=- \frac{\Delta}{4a} \ \ \ \ y_V=- \frac{b}{2a} [/math]

e che se un punto appartiene a una curva, le coordinate del punto ne soddisfano l'equazione (quindi sostituisci a x e y della parabola le coordinate del punto) avrai il seguente sistema (ricordando che Delta = b^2-4ac)

[math] \{- \frac{b^2-4ac}{4a} = - \frac32 \\ - \frac{b}{2a} = 2 \\ - \frac12=a1^2+b1+c [/math]

dalla seconda ricaviamo

[math] -b=4a \to b=-4a [/math]

che sostituito alla prima ci dara'

[math] - \frac{(-4a)^2-4ac}{4a}=- \frac32 \to - \frac{16a^2-4ac}{4a} = - \frac32 [/math]

e quindi raccogliendo 4a

[math]- \no{4a} \cdot \frac{4a-c}{\no{4a}}=- \frac32 [/math]

e quindi (minimo comune multiplo)

[math] - (8a-2c) = - 3 \to 2c=8a-3 \to c= \frac{8a-3}{2} [/math]

sostituendo all'ultima equazione avrai

[math] - \frac12 = a -4a+ \frac{8a-3}{2} \to -1 = 2a-8a-3+8a \to 2=2a \to a=1 [/math]

e quindi sostituendo nella prima e nella seconda

[math] c= \frac{8-3}{2} = \frac52 [/math]

[math] b=-4 [/math]

la parabola sara'

[math] x=y^2-4y+ \frac52 [/math]

2) la bisettrice del primo/terzo quadrante ha equazione y=x

tutte le sue parallele sono della forma y=x+q, dove q e' un valore qualsiasi

troviamo i punti di intersezione generici tra il fascio di rette parallele e la parabola

[math] \{y=x+q \\ x=y^2-4y+ \frac52 [/math]

dalla prima ricaviamo x=y-q, che sostituita alla seconda dara'

[math] y-q=y^2-4y+ \frac52 \to y^2-4y-y+ \frac52 + q = 0 \to y^2-5y+ \frac52 + q = 0 [/math]

risolviamo l'equazione di secondo grado, trovando le generiche y dei punti di intersezione

[math] y_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25-4( \frac52 + q \)}}{2} = \\ \\ \\ = \frac{5 \pm \sqrt{25-10-4q}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{15-4q}}{2} [/math]

da cui quindi

[math] y_1 = \frac{5- \sqrt{15-4q}}{2} \ \ \ \ y_2= \frac{5+ \sqrt{15-4q}}{2} [/math]

siccome i punti appartengono alla parabola (ma anche alla retta) troviamo le relative ascisse generiche dei punti di intersezione, sostituendo le y trovate al fascio di rette (alla prima equazione, ovvero x=y-q)

[math] x_1 = \frac{5- \sqrt{15-4q}}{2}-q \ \ \ \ y_2= \frac{5+ \sqrt{15-4q}}{2}-q [/math]

la distanza tra questi due punti dovra' essere

[math] 3 \sqrt2 [/math]

la formula per calcolare la distanza tra due punti e'

[math] d= \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} [/math]

quindi

[math] 3 \sqrt2 = \sqrt{ \( \frac{5- \sqrt{15-4q}}{2}-q - \( \frac{5+ \sqrt{15-4q}}{2}-q \) \)^2 + \( \frac{5- \sqrt{15-4q}}{2} - \frac{5+ \sqrt{15-4q}}{2} \)^2 [/math]

da cui

[math] 3 \sqrt2 = \sqrt{ \( \frac{5- \sqrt{15-4q}}{2}- \no{q} - \frac{5+ \sqrt{15-4q}}{2} + \no{q} \)^2 + \( \frac{5- \sqrt{15-4q}}{2} - \frac{5+ \sqrt{15-4q}}{2} \)^2 [/math]

e quindi mcm (o meglio, unione dei denominatori comuni)

[math] 3 \sqrt2 = \sqrt{ \( \frac{5- \sqrt{15-4q} - 5 - \sqrt{15-4q}}{2} \)^2 + \( \frac{5- \sqrt{15-4q} - 5 - \sqrt{15-4q}}{2} \)^2 [/math]

i 5 se ne vanno, rimarra'

[math] 3 \sqrt2 = \sqrt{ \( \frac{-2 \sqrt{15-4q }}{2} \)^2 + \( \frac{-2 \sqrt{15-4q}}{2} \)^2 [/math]

eleviamo i quadrati

[math] 3 \sqrt2 = \sqrt{ \frac{4(15-4q)}{4} + \frac{4(15-4q)}{4}} [/math]

da cui calcolando

[math] 3 \sqrt2 = \sqrt{\frac{60-16q+60-16q}{4}} \to 3 \sqrt2 = \sqrt{ \frac{120-32q}{4}} [/math]

eleviamo tutto al quadrato

[math]9 \cdot 2 = \frac{120-32q}{4} \to 18 = \frac{120-32q}{4} \to 72=120-32q \to \\ \\ \\ \\ \\ \to 32q=48 \to q= \frac32 [/math]

la retta del fascio sara'

[math] y=x+ \frac32 [/math]

che in forma implicita sara'

[math] 2x-2y+3=0 [/math]

ecco a te :)