Esercizio luogo dei punti
Determinare il luogo dei centri della circonferenza tangenti internamente ad una circonferenza C assegnata e passanti per un punto A interno ad essa.
[L'ho impostato, ma mi sembra che mi manchi una condizione.. Comunque mi sembra chiaro che il luogo sia un'ellisse avente un fuoco in A]
[L'ho impostato, ma mi sembra che mi manchi una condizione.. Comunque mi sembra chiaro che il luogo sia un'ellisse avente un fuoco in A]
Risposte
non mi sembra che il luogo in questione sia sotto-descritto.
Ho provato ad imporre che il luogo dei punti cercati $P(x,y)$ appartenga alla retta che unisce il centro della circonferenza con un qualsiasi punto della circonferenza e che disti la stessa quantità da A e dalla retta tangente nello stesso punto, ma mi perdo nei calcoli, non ottengo niente..
ci provo:
intanto, senza perdita di generalita', supponiamo che la circonferenza esterna sia il cerchio goniometrico (di centro O (origine degli assi)), cioe':
$x^2+y^2=1
e sia P(a,b) un punto ad essa interno
sia C(v,w) un punto appartenente al luogo , cioe' sia C il centro della circonferenza interna (sia inoltre r il raggio di tale corconferenza)
osserviamo che O, C e il punto di tangenza tra le 2 circonferenze sono allineati, quindi OC=|1-r|
ma r e' proprio =PC, quindi:
OC=|1-PC| che dovrebbe portarti forse a qlcosa di decente
spero corretto
intanto, senza perdita di generalita', supponiamo che la circonferenza esterna sia il cerchio goniometrico (di centro O (origine degli assi)), cioe':
$x^2+y^2=1
e sia P(a,b) un punto ad essa interno
sia C(v,w) un punto appartenente al luogo , cioe' sia C il centro della circonferenza interna (sia inoltre r il raggio di tale corconferenza)
osserviamo che O, C e il punto di tangenza tra le 2 circonferenze sono allineati, quindi OC=|1-r|
ma r e' proprio =PC, quindi:
OC=|1-PC| che dovrebbe portarti forse a qlcosa di decente
spero corretto
Prendo $P(alpha,0)$, senza perdere di generalità. Impongo quello che hai consigliato te, $OC=|r-PC|$, con $C(x,y)$, e ottengo:
$x^2(4r^2-4alpha^2)+y^2(4r^2)+x(-8alphar^2-4alphar^4-4alpha^3)+2r^2alpha^2-r^4-alpha^4=0$
Che diavolo di curva è?
$x^2(4r^2-4alpha^2)+y^2(4r^2)+x(-8alphar^2-4alphar^4-4alpha^3)+2r^2alpha^2-r^4-alpha^4=0$
Che diavolo di curva è?
"elios":
Prendo $P(alpha,0)$, senza perdere di generalità.
Sei sicura che così non perdi di generalità?
Posso sempre posizionare il sistema di assi cartesiani con l'origine nel centro della circonferenza e con l'asse x coincidente con la retta che congiunge l'origine con A.
Risposta alla mia domanda deficiente: sì.
I'm sorry.
EDIT: non avevo visto che avevi risposto. OK: fase di rincoglionimento superata.
I'm sorry.
EDIT: non avevo visto che avevi risposto. OK: fase di rincoglionimento superata.
"elios":
Prendo $P(alpha,0)$, senza perdere di generalità. Impongo quello che hai consigliato te, $OC=|r-PC|$, con $C(x,y)$, e ottengo:
$x^2(4r^2-4alpha^2)+y^2(4r^2)+x(-8alphar^2-4alphar^4-4alpha^3)+2r^2alpha^2-r^4-alpha^4=0$
Che diavolo di curva è?
se guardi l'ultima formula che avevo scritto, cioe' OC=|1-PC|, r non compare piu'...
Si, ma ho messo al posto di 1 $r$, semplicemente perché $r$ è dato quindi chiamarlo 1 o $r$ è lo stesso..
"elios":
Si, ma ho messo al posto di 1 $r$, semplicemente perché $r$ è dato quindi chiamarlo 1 o $r$ è lo stesso..
ok, quindi deduco che con r intendi il raggio della circonferenza esterna.
cmq, non ho controollato i calcoli, ma quella che hai scritto e' una circonferenza con centro sull'asse x
Come fa ad essere una circonferenza se ha i coefficienti di $x^2$ e di $y^2$ diversi tra loro?
cavolo hai ragione i'm very sorry.
allora dovrebbe essere un'ellisse... ora ocntrollo su wiki.
allora dovrebbe essere un'ellisse... ora ocntrollo su wiki.
"codino75":
cavolo hai ragione i'm very sorry.
allora dovrebbe essere un'ellisse... ora ocntrollo su wiki.
mi accorgo ora di avere spaventose lacune sulle coniche...
Dovrebbe essere una ellisse.
Mi pare di ricordare che data una quadratica del tipo $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$, questa rappresenta una ellisse/circonferenza, una parabola o una iperbole se, rispettivamente, $b^2-4ac < 0$, $b^2-4ac=0$, $b^2-4ac>0$. Non essendo una circonferenza, dacché tale è se $a=c$, allora è una ellisse.
Mi pare di ricordare che data una quadratica del tipo $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$, questa rappresenta una ellisse/circonferenza, una parabola o una iperbole se, rispettivamente, $b^2-4ac < 0$, $b^2-4ac=0$, $b^2-4ac>0$. Non essendo una circonferenza, dacché tale è se $a=c$, allora è una ellisse.
Ma che diavolo di ellisse è con il termine misto $xy$? ruotata??? Ma io ho posizionato $A$ sull'asse x proprio per ottenere un'ellisse traslata sì, ma non ruotata! mmm..
E dove sta questo termine misto?
Ho fatto un ragionamento piuttosto banale e sono arrivata alla conclusione (a cui sicuramente siete arrivati anche voi) che: se è un'ellisse ha i fuochi in A e nel centro della circonferenza, cioè, stiamo cercando un'equazione del tipo $(x-k)^2/a^2+y^2/b^2=1$, con $k$ la semidistanza $OA$, con $a$ la distanza $OA$ sommato a $(r-OA)/2$. $b$ non ne ho idea..
"WiZaRd":
E dove sta questo termine misto?
Avrò rifatto una quindicina di volte i calcoli e tutte le volte ottengo un'equazione con termine misto..
"elios":
Ho fatto un ragionamento piuttosto banale e sono arrivata alla conclusione (a cui sicuramente siete arrivati anche voi)
per quanto mi riguarda, togli il "sicuramente" ; ho solo cercato di arrivare all'equazione del luogo.
alex
"codino75":
[quote="elios"]Ho fatto un ragionamento piuttosto banale e sono arrivata alla conclusione (a cui sicuramente siete arrivati anche voi)
per quanto mi riguarda, togli il "sicuramente" ; ho solo cercato di arrivare all'equazione del luogo.
alex[/quote]
Cioè? La deduzione è sbagliata?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo