Esercizio luogo dei punti
Determinare il luogo dei centri della circonferenza tangenti internamente ad una circonferenza C assegnata e passanti per un punto A interno ad essa.
[L'ho impostato, ma mi sembra che mi manchi una condizione.. Comunque mi sembra chiaro che il luogo sia un'ellisse avente un fuoco in A]
[L'ho impostato, ma mi sembra che mi manchi una condizione.. Comunque mi sembra chiaro che il luogo sia un'ellisse avente un fuoco in A]
Risposte
Semplificataci la vita come suggerito da codino75 ($r=1$) si ha:
$OC=1-PC => \sqrt{x^2+y^2}=1-\sqrt{(x-\alpha)^2 + y^2} => \sqrt{(x-\alpha)^2 + y^2}=1-\sqrt{x^2+y^2} => \sqrt{(x-\alpha)^2 + y^2}^2=(1-\sqrt{x^2+y^2})^2 =>$
$=>(x-\alpha)^2 + y^2 = 1-2\sqrt{x^2+y^2} + x^2 + y^2 => x^2 - 2\alpha x + \alpha^2 + y^2 = 1-2\sqrt{x^2+y^2}+x^2 + y^2 => 2\sqrt{x^2+y^2}=1+2\alpha x + \alpha^2 =>$
$=> 4x^2 + 4y^2 = 1 + 4\alpha^2 x^2 + \alpha^4 + 4\alpha x + 4\alpha^2 x + 2\alpha^2 => 4(1-\alpha^2)x^2 + 4y^2 -4\alpha (1 + \alpha) x - (\alpha^2 + 1)^2 =0$.
Quindi la fantomatica curva ha equazione $4(1-\alpha^2)x^2 + 4y^2 -4\alpha (1 + \alpha) x - (\alpha^2 + 1)^2 =0$.
Il discriminante è $0^2 - 4[4(1-\alpha^2)](4)=-64(1-\alpha^2)$ che è negativo per ogni scelta di $\alpha \in ]-1;1[$ e altrimenti non potrebbe essere data la costruzione. Inoltre i coefficienti dei termini di secondo grado sono diversi, dunque abbiamo una ellisse.
$OC=1-PC => \sqrt{x^2+y^2}=1-\sqrt{(x-\alpha)^2 + y^2} => \sqrt{(x-\alpha)^2 + y^2}=1-\sqrt{x^2+y^2} => \sqrt{(x-\alpha)^2 + y^2}^2=(1-\sqrt{x^2+y^2})^2 =>$
$=>(x-\alpha)^2 + y^2 = 1-2\sqrt{x^2+y^2} + x^2 + y^2 => x^2 - 2\alpha x + \alpha^2 + y^2 = 1-2\sqrt{x^2+y^2}+x^2 + y^2 => 2\sqrt{x^2+y^2}=1+2\alpha x + \alpha^2 =>$
$=> 4x^2 + 4y^2 = 1 + 4\alpha^2 x^2 + \alpha^4 + 4\alpha x + 4\alpha^2 x + 2\alpha^2 => 4(1-\alpha^2)x^2 + 4y^2 -4\alpha (1 + \alpha) x - (\alpha^2 + 1)^2 =0$.
Quindi la fantomatica curva ha equazione $4(1-\alpha^2)x^2 + 4y^2 -4\alpha (1 + \alpha) x - (\alpha^2 + 1)^2 =0$.
Il discriminante è $0^2 - 4[4(1-\alpha^2)](4)=-64(1-\alpha^2)$ che è negativo per ogni scelta di $\alpha \in ]-1;1[$ e altrimenti non potrebbe essere data la costruzione. Inoltre i coefficienti dei termini di secondo grado sono diversi, dunque abbiamo una ellisse.
"WiZaRd":
x^2 - 2\alpha x + \alpha^2 + y^2 = 1-2\sqrt{x^2+y^2}+x^2 + y^2 => 2\sqrt{x^2+y^2}=1+2\alpha x + \alpha^2
Il secondo membro dell'ultimo passaggio dovrebbe essere $1+2\alpha x - \alpha^2$
Bel problema elios 
Dò la mia interpretazione.
A mio avviso è relativamente facile arrivare ad una parametrizzazione del luogo. Meno facile è accorgersi che si tratta di un'ellisse e trovare i semiassi e il centro.
Quanto alla parametrizzazione, io ho fatto così: ho messo tutto in un riferimento ortogonale, ho deciso che la circonferenza è quella centrata nell'origine e di raggio 1, e ho deciso che $A=((a),(0))$ con $0
Quindi considerato un punto generico della circonferenza, del tipo $P_t=((cos(t)),(sen(t)))$, ho preso quel punto $Q_t$ della retta congiungente $P_t$ al centro, ovvero $Y=tg(t)X$, tale che $d(Q_t,A)=d(Q_t,P_t)$. Non è difficile mostrare che tale punto è il seguente:
$Q_t = (a^2-1)((cos(t)/(2(a cos(t)-1))),((sen(t))/(2(a cos(t)-1))))$
Ora il problema è caratterizzare questi punti in modo umano. Cioè trovare un'equazione che leghi ascissa e ordinata di $Q_t$.
Usando tecniche non del tutto carine sono arrivato alla seguente equazione:
$4(1-a^2)(X-a/2)^2+4Y^2=1-a^2$
In pratica ho fatto il grafico della parametrizzata con mathematica, ho visto che ragionevolmente era un'ellisse, ho calcolato il semiasse orizzontale intersecando con l'asse delle X, ho calcolato il semiasse verticale tracciando la verticale per il centro, quindi ho scritto l'equazione dell'ellisse che posso dedurre da tali informazioni e ho verificato che funziona sostituendo sempre con mathematica.
Ora la parte puramente analitica è fatta. Resta da trovare la soluzione sintetica che sicuramente esiste.
Dò la mia interpretazione.
A mio avviso è relativamente facile arrivare ad una parametrizzazione del luogo. Meno facile è accorgersi che si tratta di un'ellisse e trovare i semiassi e il centro.
Quanto alla parametrizzazione, io ho fatto così: ho messo tutto in un riferimento ortogonale, ho deciso che la circonferenza è quella centrata nell'origine e di raggio 1, e ho deciso che $A=((a),(0))$ con $0
Quindi considerato un punto generico della circonferenza, del tipo $P_t=((cos(t)),(sen(t)))$, ho preso quel punto $Q_t$ della retta congiungente $P_t$ al centro, ovvero $Y=tg(t)X$, tale che $d(Q_t,A)=d(Q_t,P_t)$. Non è difficile mostrare che tale punto è il seguente:
$Q_t = (a^2-1)((cos(t)/(2(a cos(t)-1))),((sen(t))/(2(a cos(t)-1))))$
Ora il problema è caratterizzare questi punti in modo umano. Cioè trovare un'equazione che leghi ascissa e ordinata di $Q_t$.
Usando tecniche non del tutto carine sono arrivato alla seguente equazione:
$4(1-a^2)(X-a/2)^2+4Y^2=1-a^2$
In pratica ho fatto il grafico della parametrizzata con mathematica, ho visto che ragionevolmente era un'ellisse, ho calcolato il semiasse orizzontale intersecando con l'asse delle X, ho calcolato il semiasse verticale tracciando la verticale per il centro, quindi ho scritto l'equazione dell'ellisse che posso dedurre da tali informazioni e ho verificato che funziona sostituendo sempre con mathematica.
Ora la parte puramente analitica è fatta. Resta da trovare la soluzione sintetica che sicuramente esiste.
"WiZaRd":
2\sqrt{x^2+y^2}=1+2\alpha x + \alpha^2 =>$
$=> 4x^2 + 4y^2 = 1 + 4\alpha^2 x^2 + \alpha^4 + 4\alpha x + 4\alpha^2 x + 2\alpha^2
Non dovrebbe essere $(1+2\alpha x + \alpha^2)^2=1+4\alpha^2 x^2 + \alpha^4 + 4\alpha x - 4\alpha^3 x - 2\alpha^2$, cioè con l'apparizione misteriosa di un $alpha^3$?
Si: hai proprio ragione.
Però questo non è rilevante più di tanto ai fini delle individuazione del lugo richiesto, dacchè i coefficienti che determianno la tipologia della conica sono quelli che moltiplicano i monomi di grado due.
Bella anche la soluzione di Martino.
Però questo non è rilevante più di tanto ai fini delle individuazione del lugo richiesto, dacchè i coefficienti che determianno la tipologia della conica sono quelli che moltiplicano i monomi di grado due.
Bella anche la soluzione di Martino.
Per ringraziare tutti quanti, scrivo in definitiva il risultato. I calcoli esatti (spero) sono:
$4x^2(1-alpha^2)-4alphax(1-alpha^2)+4y^2-1-alpha^4+2alpha^2=0$
Ho provato a ricostruire il quadrato della x per effettuare la traslazione degli assi:
$(2*sqrt(1-alpha^2)*x - alpha*sqrt(1-alpha^2))^2 -alpha^2(1-alpha^2)+4y^2-1-alpha^4+2*alpha^2=0$
da cui
$[(2*sqrt(1-alpha^2)*x-alpha*sqrt(1-alpha^2))^2]/(1-alpha^2) + 4/(1-alpha^2) *y^2=1$
Traslo gli assi:
$X=2*sqrt(1-alpha^2)x - alpha(1-alpha^2)$
$Y=y$
da cui $X^2/(1-alpha^2)+4/(1-alpha^2) *Y^2=1$,
ovvero è un'ellisse con punto di simmetria (origine del nuovo sistema traslato) in $O' (alpha/2;0)$ e $a=sqrt(1-alpha^2)$ e $b=sqrt(1-alpha^2)/2$
$4x^2(1-alpha^2)-4alphax(1-alpha^2)+4y^2-1-alpha^4+2alpha^2=0$
Ho provato a ricostruire il quadrato della x per effettuare la traslazione degli assi:
$(2*sqrt(1-alpha^2)*x - alpha*sqrt(1-alpha^2))^2 -alpha^2(1-alpha^2)+4y^2-1-alpha^4+2*alpha^2=0$
da cui
$[(2*sqrt(1-alpha^2)*x-alpha*sqrt(1-alpha^2))^2]/(1-alpha^2) + 4/(1-alpha^2) *y^2=1$
Traslo gli assi:
$X=2*sqrt(1-alpha^2)x - alpha(1-alpha^2)$
$Y=y$
da cui $X^2/(1-alpha^2)+4/(1-alpha^2) *Y^2=1$,
ovvero è un'ellisse con punto di simmetria (origine del nuovo sistema traslato) in $O' (alpha/2;0)$ e $a=sqrt(1-alpha^2)$ e $b=sqrt(1-alpha^2)/2$
Ho fatto anche i conti (orribili devo dire) con un raggio $r$ generico, ottenendo:
$(2*sqrt(1-alpha^2)*x - [alpha(r^2-alpha^2)*sqrt(1-alpha^2)]/(1-alpha^2) )^2 + 4y^2= (r^2-alpha^2)^2/(1-alpha^2)$
Traslo:
$X=2*sqrt(1-alpha^2)*x - [alpha(r^2-alpha^2)*sqrt(1-alpha^2)]/(1-alpha^2)$
$Y=y$
da cui
$(1-alpha^2)/(r^2-alpha^2)^2 *X^2 + 4(1-alpha^2)/(r^2-alpha^2)^2 *Y^2=1$
E' un'ellisse con punto di simmetria $O'(alpha/2 *(r^2-alpha^2)/(1-alpha^2); 0)$.
Non riesco bene ad interpretare geometricamente il risultato del nuovo origine degli assi... Qualcuno sa aiutarmi? Grazie ancora
$(2*sqrt(1-alpha^2)*x - [alpha(r^2-alpha^2)*sqrt(1-alpha^2)]/(1-alpha^2) )^2 + 4y^2= (r^2-alpha^2)^2/(1-alpha^2)$
Traslo:
$X=2*sqrt(1-alpha^2)*x - [alpha(r^2-alpha^2)*sqrt(1-alpha^2)]/(1-alpha^2)$
$Y=y$
da cui
$(1-alpha^2)/(r^2-alpha^2)^2 *X^2 + 4(1-alpha^2)/(r^2-alpha^2)^2 *Y^2=1$
E' un'ellisse con punto di simmetria $O'(alpha/2 *(r^2-alpha^2)/(1-alpha^2); 0)$.
Non riesco bene ad interpretare geometricamente il risultato del nuovo origine degli assi... Qualcuno sa aiutarmi? Grazie ancora
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