Esercizio limite

[rosva1]

Non so svolgere questi esercizi...qualcuno potrebbe aiutarmi?

[mc2]

Sono esercizi sulla definizione di limite.


Primo esercizio


Definiamo

[math]f(x)=2x^3-3x^2+4x+8[/math]

Ora calcoliamo

[math]f(2+L)[/math]

:

[math]f(2+L)=2(2+L)^3-3(2+L)^2+4(2+L)+8=2L^3+9L^2+16L+20[/math]

Vogliamo trovare un numero

[math]L>0[/math]

tale che per ogni [math]x

[rosva1]

Chiedo scusa...in prima la ringrazio per il lavoro che ha fatto per me...solo che, nel secondo esercizio non ho capito perché e^x/x = e^(x-1)

[mc2]

Scusa, ho sbagliato i calcoli nel secondo esercizio (meno male che erano piu` facili!). Abbi pazienza un momento e li aggiusto.

Aggiunto 20 minuti più tardi:

Per il momento l'unico modo che ho trovato e` utilizzando le derivate.

Le hai gia` studiate?

Se si`, allora puoi fare cosi`:

[math]\frac{e^x}{\log x}>\frac{e^x}{x}[/math]

Definiamo la funzione f(x):

[math]f(x)=\frac{e^x}{x}[/math]

e calcoliamo la sua derivata:

[math]f'(x)=\frac{e^x(x-1)}{x^2}[/math]

si vede facilmente che la derivata e` positiva per x>1, quindi f(x) e` crescente per x>1.

Basta ora trovare un valore L tale che

[math]f(L)=\frac{e^L}{L}>100[/math]

e si puo` procedere per tentativi. Ad esempio si trova che per L=7:

[math]f(7)=\frac{e^7}{7}\simeq 156.7>100[/math]

e quindi per ogni valore x>7 si ha :

[math]f(x)>f(7)>100[/math]

, perche` abbiamo appena dimostrato che f e` crescente.


In conclusione abbiamo che per ogni x>7:

[math]\frac{e^x}{\log x}>\frac{e^x}{x}>\frac{e^7}{7}>100[/math]

quindi un numero L che soddisfa le richieste e` L=7

[rosva1]

Grazie grazie grazie...1000 volte grazie...

[mc2]

Se avessi saputo che avevi gia` studiato le derivate le avrei usate anche per il primo esercizio! sarebbe stato molto piu` veloce!

Vabbe', te lo lascio come esercizio ;)